2021高考一轮复习第三十四讲圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题

试卷更新日期：2020-08-18 类型：一轮复习

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一、解答题

1. 已知椭圆C的中心在坐标原点焦点在x轴上，椭圆C上一点A（2 $\sqrt{3}$ ，﹣1）到两焦点距离之和为8.若点B是椭圆C的上顶点，点P ， Q是椭圆C上异于点B的任意两点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若BP⊥BQ ，且满足3 $\vec{P D} =$ 2 $\vec{D Q}$ 的点D在y轴上，求直线BP的方程；

(3)、若直线BP与BQ的斜率乘积为常数λ（λ＜0），试判断直线PQ是否经过定点.若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.

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2. 已知直线 $l ： x = t$ $(0 < t < 2)$ 与椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 相交于 $A 、 B$ 两点，其中 $A$ 在第一象限， $M$ 是椭圆上一点.

(1)、记 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $t \in (- \infty ， \frac{1}{2}]$ 的左右焦点，若直线 $A B$ 过 $F_{2}$ ，当 $M$ 到 $F_{1}$ 的距离与到直线 $A B$ 的距离相等时，求点 $M$ 的横坐标；

(2)、若点 $M 、 A$ 关于 $y$ 轴对称，当 $△ M A B$ 的面积最大时，求直线 $M B$ 的方程；

(3)、设直线 $M A$ 和 $M B$ 与 $x$ 轴分别交于 $P 、 Q$ ，证明： $| O P | \cdot | O Q |$ 为定值.

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3. 已知抛物线 $E$ ： $y^{2} = 8 x$ ，直线 $l$ ： $y = k x - 4$ .

(1)、若直线 $l$ 与抛物线 $E$ 相切，求直线 $l$ 的方程；

(2)、设 $Q (4 ， 0)$ ，直线 $l$ 与抛物线 $E$ 交于不同的两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，若存在点 $C$ ，满足 $| \vec{C Q} + \vec{C A} | = | \vec{C Q} - \bar{C A} |$ ，且线段 $O C$ 与 $A B$ 互相平分（ $O$ 为原点），求 $x_{2}$ 的取值范围.

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4. 已知双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ,顶点到渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

(1)、求双曲线 $C$ 的方程;

(2)、设 $P$ 是双曲线 $C$ 上 $F$ 点， $A$ , $B$ 两点在双曲线 $C$ 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 $\vec{A P} = λ \vec{P B}, λ \in [\frac{1}{3}, 2]$ ，求 $Δ A O B$ 面积的取值范围.

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5. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ：$ $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ ，抛物线 $E ：$ $x^{2} = 2 p y$ 的焦点 $F$ 是 $C$ 的一个顶点，设 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是 $E$ 上的动点，且位于第一象限，记 $E$ 在点 $P$ 处的切线为 $l$ .

(1)、求 $p$ 的值和切线 $l$ 的方程（用 $x_{0} ， y_{0}$ 表示）

(2)、设 $l$ 与 $C$ 交于不同的两点 $A ， B$ ，线段 $A B$ 的中点为 $D$ ，直线 $O D$ 与过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交于点 $M$ .
（i）求证：点 $M$ 在定直线上；

（ii）设 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $G$ ，记 $Δ P F G$ 的面积为 $S_{1}$ ， $Δ P D M$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值.

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6. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的两个焦点， $P$ 为 $C$ 上的点， $O$ 为坐标原点。

(1)、若 $△ P O F_{2}$ 为等边三角形，求 $C$ 的离心率；

(2)、如果存在点P，使得 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，且 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积等于16，求 $b$ 的值和a的取值范围。

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7. 已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切。

(1)、若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径。

(2)、是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由。

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8. 已知曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线 $Γ$ 上的任意一点．

(1)、当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} \cdot k_{2}$ 是定值；

(2)、设点C满足 $\overset{⇀}{A C} = λ \overset{⇀}{C B} (λ > 0)$ ，且 $| P C |$ 的最大值为7，求 $λ$ 的值．

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9. 设直线 $y = x + b$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 相交于 $A, B$ 两个不同的点.

(1)、求实数 $b$ 的取值范围；

(2)、当 $b = 1$ 时，求 $| \vec{A B} |$

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10. 如图所示，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P$ 为直线 $l ： x + y = 2$ 上且不在 $x$ 轴上的任意一点，直线 $P F_{1}$ 和 $P F_{2}$ 与椭圆的交点分别为 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 、 $D$ ， $O$ 为坐标原点.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设直线 $P F_{1}$ 、 $P F_{2}$ 的斜线分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ .
（i）证明： $\frac{1}{k_{1}} - \frac{3}{k_{2}} = 2$ ；

（ii）问直线 $l$ 上是否存在点 $P$ ，使得直线 $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ 、 $O D$ 的斜率 $k_{O A}$ 、 $k_{O B}$ 、 $k_{O C}$ 、 $k_{O D}$ 满足 $k_{O A} + k_{O B} + k_{O C} + k_{O D} = 0$ ？若存在，求出所有满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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2021高考一轮复习 第三十四讲 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题

一、解答题

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