2021高考一轮复习第三十一讲直线与椭圆的位置关系

试卷更新日期：2020-08-18 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 直线 $x - \sqrt{3} y + \sqrt{3} = 0$ 经过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点F，交椭圆于A、B两点，交y轴于C点，若 $\vec{F A} = 3 \vec{C A}$ ，则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $2 \sqrt{2} - 2$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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2. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{3}{5}$ ，左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作直线与椭圆在第一象限交点为P，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形，则直线 $P F_{1}$ 的斜率为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{7}$ B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{8}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $\frac{8 \sqrt{2}}{7}$

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3. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2} + 9} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ ，直线 $l_{1} : m x + y + 3 m = 0$ 与直线 $l_{2} : x - m y - 3 = 0$ 相交于点P，且P点在椭圆内恒成立，则椭圆C的离心率取值范围为（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ C、 $(0, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, 1)$

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4. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过右焦点 $F$ 且斜率为 $k (k > 0)$ 的直线与 $C$ 相交于 $A 、 B$ 两点．若 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ ，则 $k =$

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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5. 如图，一系列椭圆 $C_{n} ： \frac{x^{2}}{n + 1} + \frac{y^{2}}{n} = 1 (n \in N^{*})$ ，射线 $y = x (x ⩾ 0)$ 与椭圆 $C_{n}$ 交于点 $P_{n}$ ，设 $a_{n} = | P_{n} P_{n + 1} |$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是（）

A、递增数列 B、递减数列 C、先递减后递增数列 D、先递增后递减数列

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6. 在椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 内，过点M(1，1)且被该点平分的弦所在的直线方程为(　　)

A、9x－16y＋7＝0 B、16x＋9y－25＝0 C、9x＋16y－25＝0 D、16x－9y－7＝0

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7. 已知 $F_{1} (- \sqrt{2} ， 0)$ 、 $F_{2} (\sqrt{2} ， 0)$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过F₁的直线l交椭圆C于A、B两点.若 $Δ A B F_{2}$ 周长是 $4 \sqrt{3}$ ，则该椭圆方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $Δ F_{1} A B$ 的内切圆半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{7}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{7}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{7}$

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9. 已知直线2kx-y+1=0与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 恒有公共点，则实数m的取值范围（）

A、， B、，， C、， D、

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10. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l_{1}$ 与过 $F_{2}$ 的直线 $l_{2}$ 交于点 $P$ ，设 $P$ 点的坐标 $(x_{°}, y_{°})$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则下列结论中不正确的是（）

A、 $\frac{x_{°}^{2}}{3} + \frac{y_{°}^{2}}{2} > 1$ B、 $\frac{x_{°}^{2}}{3} + \frac{y_{°}^{2}}{2} < 1$ C、 $3 x_{°}^{2} + 2 y_{°}^{2} > 1$ D、 $\frac{x_{°}}{3} + \frac{y_{°}}{2} < 1$

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二、填空题

11. 已知F₁ ， F₂是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两个焦点，过F₁的直线 $l$ 交椭圆于M，N两点，则ΔMF₂N的周长为

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12. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ， $A$ 为直线 $x = 2$ 上一点，线段 $A F$ 交 $C$ 于点 $B$ ，若 $\overset{⇀}{F A} = 3 \overset{⇀}{F B}$ ，则 $| \overset{⇀}{A F} | =$ ．

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13. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点F(c，0) 关于直线 $y = \frac{b}{c} x$ 的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是．

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三、解答题

14. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $E$ ： $C$ 的左，右焦点，点 $P (- 1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆 $E$ 上，且抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点是椭圆 $E$ 的一个焦点。

(1)、求 $a$ , $b$ 的值：

(2)、过点 $F_{2}$ 作不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ ，设 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 相交于A，B两点，且与椭圆 $E$ 相交于C，D两点，当 $\vec{F_{1} A} \cdot \vec{F_{1} B} = 1$ 时，求△ $F_{1} C D$ 的面积。

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15. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且经过点 $Q (2 ， \sqrt{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A B | = 4$ ，求 $Δ A O B$ （ $O$ 为坐标原点）面积的最大值及此时直线 $l$ 的方程.

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左顶点 $A$ 作直线 $l$ ，与椭圆 $C$ 和 $y$ 轴正半轴分别交于点 $P$ ， $Q$ ．

(1)、若 $A P = P Q$ ，求直线 $l$ 的斜率；

(2)、过原点 $O$ 作直线 $l$ 的平行线，与椭圆 $C$ 交于点 $M ， N$ ，求证： $\frac{A P \cdot A Q}{M N^{2}}$ 为定值．

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2021高考一轮复习 第三十一讲 直线与椭圆的位置关系

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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