2021高考一轮复习第三十三讲抛物线

试卷更新日期：2020-08-18 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知A为抛物线C:y²=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）

A、2 B、3 C、6 D、9

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2. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足 $\vec{A F} = 2 \vec{F B} ， E$ 为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为（）

A、 $\frac{11}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{4}$

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3. 已知过抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则 $\frac{1}{| P M |} + \frac{9}{| Q N |}$ 的值不可能为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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4. 抛物线y＝ax²上一点 $P (- \frac{1}{4} ， \frac{1}{8})$ 到其准线的距离为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{3}{8}$

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5. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 16 x$ 的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，若抛物线C上存在一点B使 $| A B | = \sqrt{2} | B F |$ ，则 $| A B | =$ （）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、8 C、 $4 \sqrt{2}$ D、4

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6. 设点F为抛物线 $y^{2} = 16 x$ 的焦点，A，B，C三点在抛物线上，且四边形 $A B C F$ 为平行四边形，若对角线 $| B F | = 5$ （点B在第一象限），则对角线 $A C$ 所在的直线方程为（）

A、 $8 x - 2 y - 11 = 0$ B、 $4 x - y - 8 = 0$ C、 $4 x - 2 y - 3 = 0$ D、 $2 x - y - 3 = 0$

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7. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若 $| A F | = 3$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\pm \sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\pm 2 \sqrt{2}$

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8. 过抛物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点， $Q (1, 2)$ ，若 $\frac{1}{| A B |} + \frac{1}{| C D |} = \frac{1}{4}$ ，则 $| P F | + | P Q |$ 的最小值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 已知动点 $M$ 的坐标满足方程 $13 \sqrt{x^{2} + y^{2}} = | 12 x + 5 y - 12 |$ ，则动点 $M$ 的轨迹为（）

A、抛物线 B、双曲线 C、椭圆 D、以上都不对

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10. 点P是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一动点，则点P到点 $A (0, - 1)$ 的距离与P到直线 $x = - 2$ 的距离和的最小值是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、 $\sqrt{2} + 1$

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11. 已知第一象限内的点M既在双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上，又在抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，设 $C_{1}$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，若 $C_{2}$ 的焦点为 $F_{2}$ ，且 $△ M F_{1} F_{2}$ 是以 $M F_{1}$ 为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F ， P$ 是抛物线 $C$ 的准线上一点，且 $P$ 的纵坐标为正数， $Q$ 是直线 $P F$ 与抛物线 $C$ 的一个交点，若 $\overset{⇀}{P Q} = 2 \overset{⇀}{Q F}$ ，则直线 $P F$ 的方程为（）

A、 $\sqrt{3} x - y - \sqrt{3} = 0$ B、 $x + y - 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $\sqrt{3} x + y - \sqrt{3} = 0$

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二、多选题

13. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，则（）

A、以线段 $A B$ 为直径的圆与直线 $x = - \frac{3}{2}$ 相离 B、以线段 $B M$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切 C、当 $\overset{⇀}{A F} = 2 \overset{⇀}{F B}$ 时， $| A B | = \frac{9}{2}$ D、 $| A B |$ 的最小值为4

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三、填空题

14. 斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线过抛物线C：y²=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 $| A B |$ = ．

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15. 已知抛物线 $E : y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，过抛物线E上一点P（在第一象限内）作y轴的垂线PQ，垂足为Q，若四边形OFPQ的周长为7，则点P的坐标为.

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16. 已知点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，过A的直线与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 相交于 $P ， Q$ 两点．若P为 $A Q$ 中点，则 $\frac{| P B |}{| Q B |} =$ ．

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17. 已知抛物线方程 $y^{2} = 4 x$ ，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段 $P F$ 与抛物线的交点，定义： $d (P) = \frac{| P F |}{| F Q |}$ .已知点 $P (- 1 ， 4 \sqrt{2})$ ，则 $d (P) =$ ；设点 $P (- 1 ， t) (t > 0)$ ，则 $2 d (P) - | P F |$ 的值为.

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18. 设抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且 $| A F | = 4 | B F |$ ，则弦长 $| A B | =$ ．

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19. 设F为抛物线 $y^{2} = 12 x$ 的焦点，A、B、C为该抛物线上的三点，若 $\vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F C} = 0$ ，则 $| \vec{F A} | + | \vec{F B} | + | \vec{F C} | =$ ．

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20. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于M ， N两点，则p= ， $\frac{| N F |}{9} - \frac{4}{| M F |}$ 的最小值为．

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四、解答题

21. 如图，已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{2}$ +y²＝1，抛物线C₂：y²＝2px（p＞0），点A是椭圆C₁与抛物线C₂的交点，过点A的直线l交椭圆C₁于点B，交抛物线C₂于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若p＝ $\frac{1}{16}$ ，求抛物线C₂的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

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22. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过C上一点 $P (1, t)$ （ $t > 0$ ）作两条倾斜角互补的直线分别与C交于M，N两点，

(1)、证明：直线 $M N$ 的斜率是－1；

(2)、若 $8 | M F |$ ， $| M N |$ ， $| N F |$ 成等比数列，求直线MN的方程.

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2021高考一轮复习 第三十三讲 抛物线

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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