2021高考一轮复习第三十二讲双曲线

试卷更新日期：2020-08-18 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\sqrt{5}$ ．P是C上一点，且F₁P⊥F₂P．若△PF₁F₂的面积为4，则a=（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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2. 设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 $| O P | = 2$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、2

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3. 设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点和点 $(0, b)$ 的直线为l．若C的一条渐近线与 $l$ 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - y^{2} = 1$

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4. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其右支上存在一点 $M$ ，使得 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ，直线 $l ： b x + a y = 0$ .若直线 $M F_{2} // l$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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5. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{3}{e_{2}^{2}}$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{25}{12}$ C、4 D、16

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6. 记双曲线 $C : \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ $(m > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1},$ $F_{2}$ ，离心率为2，点M在C上，点N满足 $\vec{F_{1} N} = \frac{1}{2} \vec{F_{1} M}$ ，若 $| M F_{1} | = 10$ ，O为坐标原点，则 $| O N | =$ （）

A、8 B、9 C、8或2 D、9或1

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7. 双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点P在双曲线C上，满足 $\vec{F_{1} F_{2}}$ $\cdot$ $\vec{P F_{2}} = 0$ ，倾斜角为锐角的渐近线与线段 $P F_{1}$ 交于点Q ，且 $\vec{F_{1} P} = 3 \vec{Q P}$ ，则 $\frac{| P F_{1} |}{| P F_{2} |}$ 的值等于（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、7 D、8

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8. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线上，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 120 °$ ， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线交 $x$ 轴于点 $A$ ，则 $| P A | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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9. 设椭圆 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{5}{13}$ ，焦点在 $x$ 轴上且长轴长为26，若曲线 $C_{2}$ 上的点到椭圆 $C_{1}$ 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线 $C_{2}$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4^{2}} - \frac{y^{2}}{3^{2}} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{13^{2}} - \frac{y^{2}}{5^{2}} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3^{2}} - \frac{y^{2}}{4^{2}} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{13^{2}} - \frac{y^{2}}{12^{2}} = 1$

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10. 已知 $A (0, - 5)$ ， $B (0, 5)$ ， $| P A | - | P B | = 2 a (a > 0)$ ，当 $a = 3$ 和5时，点 $P$ 的轨迹为（）

A、双曲线和一条直线 B、双曲线和两条射线 C、双曲线的一支和一条直线 D、双曲线的一支和一条射线

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11. 知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $M$ 在 $C$ 的右支上， $M F_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ， $△ M A F_{2}$ 的内切圆与边 $A F_{2}$ 切于点 $B$ .若 $| F_{1} F_{2} | = 4 | A B |$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ B、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ C、 $2 x \pm y = 0$ D、 $x \pm 2 y = 0$

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二、多选题

12. 已知曲线 $C : m x^{2} + n y^{2} = 1$ .（）

A、若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B、若m=n>0，则C是圆，其半径为 $\sqrt{n}$ C、若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{- \frac{m}{n}} x$ D、若m=0，n>0，则C是两条直线

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13. 已知动点 $P$ 在双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上，双曲线 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $C$ 的离心率为 $2$ B、 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、动点 $P$ 到两条渐近线的距离之积为定值 D、当动点 $P$ 在双曲线 $C$ 的左支上时， $\frac{| P F_{1} |}{{| P F_{2} |}^{2}}$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$

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三、填空题

14. 过双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{48} = 1$ 的右支上一点P，分别向圆 $C_{1}$ ： ${(x + 7)}^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2}$ ： ${(x - 7)}^{2} + y^{2} = 1$ 作切线，切点分别为M，N，则 ${| P M |}^{2} - {| P N |}^{2}$ 的最小值为．

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线交双曲线右支于点M，若 $∠ F_{1} M F_{2}$ $= \frac{π}{4}$ ，则双曲线的离心率为.

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16. 已知P为双曲线C： $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 右支上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为C的左、右焦点，且线段 $A_{1} A_{2}$ ， $B_{1} B_{2}$ 分别为C的实轴与虚轴.若 $| A_{1} A_{2} |$ ， $| B_{1} B_{2} |$ ， $| P F_{1} |$ 成等比数列，则 $| P F_{2} | =$ .

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17. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上一点 $P$ 到它的一个焦点的距离等于9，那么点 $P$ 到另一个焦点的距离等于.

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18. 已知点 $A (0, 2), B (0, - 2), C (3, 2)$ ，若动点 $M (x, y)$ 满足 $| M A | + | A C | = | M B | + | B C |$ ，则点 $M$ 的轨迹方程为.

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19. 设双曲线 $C ： \frac{x {}^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, | F_{1} F_{2} | = 2 c$ ，过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，点Q坐标为 $(c, \frac{3 a}{2})$ 且满足 $| F_{2} Q | > | F_{2} A |$ ，若在双曲线C的右支上存在点P使得 $| P F_{1} | + | P Q | < \frac{7}{6} | F_{1} F_{2} |$ 成立，则双曲线的离心率的取值范围是.

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四、解答题

20. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的实轴长为2.

(1)、若 $C$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，求 $b$ 的值；

(2)、设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是 $C$ 的两个焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积为9，求 $C$ 的标准方程.

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21. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1，P为双曲线右支上除x轴上之外的一点．

(1)、若∠F₁PF₂=θ，求△F₁PF₂的面积．

(2)、若该双曲线与椭圆 $\frac{x^{2}}{4}$ +y²=1有共同的焦点且过点A（2，1），求△F₁PF₂内切圆的圆心轨迹方程．

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22. 已知点A（﹣ $\sqrt{3}$ ， 0），B（ $\sqrt{3}$ ， 0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线 y=x﹣2交于D、E两点，求线段DE的中点坐标及其弦长DE．

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2021高考一轮复习 第三十二讲 双曲线

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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