2021高考一轮复习第三十讲椭圆的定义、标准方程及其性质

试卷更新日期：2020-08-18 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知点F是椭圆 $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆 $x^{2} + {(y - \frac{c}{2})}^{2} = \frac{b^{2}}{16}$ 相切于点Q，O为坐标原点，且 $(\vec{O P} + \vec{O F}) \cdot \vec{F P} = 0$ ，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线MN与C的左支交于M，N两点，若 $(\vec{F_{2} F_{1}} + \vec{F_{2} M}) \cdot \vec{M F_{1}} = 0$ ， $| \vec{F_{2} N} | = 2 | \vec{F_{2} M} |$ ，则C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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3. 过椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则 $△ P F Q$ 的周长的最小值为（）

A、12 B、14 C、16 D、18

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4. 定点 $P (3 ， 0)$ ，动点Q在圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 上，线段 $P Q$ 的垂直平分线交 $O Q$ 于点M（O为坐标原点），则动点M的轨迹是（）

A、圆 B、直线 C、双曲线 D、椭圆

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5. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，则m的值为（）

A、3 B、 $\frac{25}{3}$ 或3 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{5 \sqrt{15}}{3}$ 或 $\sqrt{15}$

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6. 已知椭圆的一个焦点为 $F (1, 0)$ ，离心率 $e = \frac{1}{3}$ ，则椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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7. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $m ， n \in A$ ，则方程 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 表示焦点位于x轴上的椭圆有（）

A、6个 B、8个 C、12个 D、16个

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8. 已知椭圆 $M (1 ， 0)$ 分别过点 $A (2 ， 0)$ 和点 $B (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则该椭圆的焦距为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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9. 椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上，若 $| P F_{2} | = 2$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的大小为（）

A、 $150 °$ B、 $135 °$ C、 $120 °$ D、 $90 °$

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10. 方程 $\sqrt{{(x - 2)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x + 2)}^{2} + y^{2}} = 10$ ，化简的结果是（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{21} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{21} = 1$

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11. 已知 $A ， B ， C$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上三个不同的点，若坐标原点 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 设椭圆 $C$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若 $C$ 上存在点 $P$ 满足 $| P F_{1} | : | F_{1} F_{2} | : | P F_{2} | = 4 : 3 : 2$ ，则椭圆 $C$ 的离心率等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题

13. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上有一点 $M (\frac{\sqrt{2}}{2} a ， \frac{\sqrt{2}}{2} b)$ ，F为右焦点，B为上顶点，O为坐标原点，且 $S_{Δ B F O} = \sqrt{2} S_{△ B F M}$ ，则椭圆C的离心率为

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{10 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 的长轴在 $y$ 轴上，若焦距为4，则 $m =$ .

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点P为椭圆上一点，满足 $(\vec{O P} + \vec{O F_{2}}) \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ （点 $O$ 为坐标原点）， $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为1，且其外接圆的面积为 $3 π$ ，则该椭圆的标准方程为.

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16. 已知 $P$ 为曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上位于第一象限内的点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为 $Γ$ 的两焦点，若 $∠ F_{1} P F_{2}$ 是直角，则点P坐标为

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17. 设点 $P (0 ， \frac{9}{2})$ ，动点 $A ， B$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上且满足 $\vec{P A} = λ \vec{P B}$ ，则 $λ$ 的范围.

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三、解答题

18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (0 < m < 5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，A，B分别为C的左、右顶点．

(1)、求C的方程；

(2)、若点P在C上，点Q在直线 $x = 6$ 上，且 $| B P | = | B Q |$ ， $B P ⊥ B Q$ ，求 $△ A P Q$ 的面积．

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19. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，过左焦点F且斜率大于0的直线l交E于 $A 、 B$ 两点， $A B$ 的中点为 $G ， A B$ 的垂直平分线交x轴于点D.

(1)、若点G纵坐标为 $\frac{2}{3}$ ，求直线 $G D$ 的方程；

(2)、若 $\tan ∠ B A D = \frac{1}{2}$ ，求 $Δ A B D$ 的面积.

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20. 已知O为坐标原点，椭圆 $\frac{y^{2}}{2} + x^{2} = 1$ 的下焦点为F，过点F且斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点.

(1)、以AB为直径的圆与 $x = \sqrt{2}$ 相切，求该圆的半径；

(2)、在 $y$ 轴上是否存在定点 $P$ ，使得 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 为定值，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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2021高考一轮复习 第三十讲 椭圆的定义、标准方程及其性质

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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