浙江省湖州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知点 $A (- 1, \sqrt{3})$ ， $B (1, 3 \sqrt{3})$ ，则直线AB的倾斜角是（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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2. 不等式 $3 x^{2} + 2 x - 1 \leq 0$ 的解集是（）

A、 $[- 1, \frac{1}{3}]$ B、 $(- \infty, - 1] \cup [\frac{1}{3}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{3}, 1]$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{3}] \cup [1, + \infty)$

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3. 已知实数a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列不等式一定成立的是（）

A、ac(a−c)>0 B、c(b−a)<0 C、 $c b^{2} < a b^{2}$ D、ab>ac

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4. 若直线 $l_{1} : (k - 3) x + (k + 4) y + 1 = 0$ 与 $l_{2} : (k + 1) x + 2 (k - 3) y + 3 = 0$ 垂直，则实数 $k$ 的值是（）

A、3或-3 B、3或4 C、-3或-1 D、-1或4

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5. 对于向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{c}$ 和实数 $λ$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = 0$ ，则 $\overset{⇀}{a} = \overset{⇀}{0}$ 或 $\overset{⇀}{b} = \overset{⇀}{0}$ B、若 $λ \overset{⇀}{a} = \overset{⇀}{0}$ ，则 $λ = 0$ 或 $\overset{⇀}{a} = \overset{⇀}{0}$ C、若 ${\overset{⇀}{a}}^{2} = {\overset{⇀}{b}}^{2}$ ，则 $\overset{⇀}{a} = \overset{⇀}{b}$ 或 $\overset{⇀}{a} = - \overset{⇀}{b}$ D、若 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{c}$ ，则 $\overset{⇀}{b} = \overset{⇀}{c}$

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6. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 \geq 0 \\ x - y + 3 \geq 0 \\ 2 x - y + 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 y - x$ （）

A、最大值为4，最小值为0 B、最大值为6，最小值为4 C、最大值为6，最小值为0 D、最大值为4，最小值为2

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7. 若正实数a，b满足a+b=1，则（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 有最大值4 B、ab有最小值 $\frac{1}{4}$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 有最大值 $\sqrt{2}$ D、 $a^{2} + b^{2}$ 有最小值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{7} = a_{6} + 2 a_{5}$ ，若存在两项 $a_{m}$ ， $a_{n}$ ，使得 $a_{m} \cdot a_{n} = 16 a_{1}^{2}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{9}{n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{11}{4}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9. 在平面直角坐标系xOy中，若圆 $C_{1} : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 上存在点M，且点M关于直线 $x + y + 1 = 0$ 的对称点N在圆 $C_{2} : {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上，则r的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{17} - 2, \sqrt{17} + 2]$ B、 $[2 \sqrt{2} - 2, 2 \sqrt{2} + 2]$ C、 $[\sqrt{13} - 2, \sqrt{13} + 2]$ D、 $[\sqrt{5} - 2, \sqrt{5} + 2]$

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10. 已知 $a \in [2 ， 3]$ ， $b \in R$ ， $f (x) = x^{2} + 2 x + b - a | x - a |$ ，若当 $x \in [1 ， 4]$ 时， $f (x) \leq 0$ 恒成立，则 $5 a + b$ 的最大值是（）

A、-6 B、-2 C、2 D、6

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二、双空题

11. 已知直线 $l_{1} : 3 x + m y - 3 = 0$ 与 $l_{2} : 6 x + 4 y - 1 = 0$ 互相平行，则实数 $m =$ ，它们的距离是．

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12. 设公差为d的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} = - 2$ ， $S_{8} = - 4$ ，则 $d =$ ， $S_{n}$ 取最小值时，n= ．

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13. 在 $△ A B C$ 中，若 $C = 60 °$ ， $C D \subset$ ，点D在边BC上，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $A B =$ ， $\sin ∠ B A D =$ ．

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14. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 5$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影是， $| \vec{a} - λ \vec{b} | (λ \in R)$ 的最小值是．

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三、填空题

15. 若关于x的不等式 $| x + 1 | + | x - a | > 4 (a \in R)$ 对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是．

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16. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{2}{3}$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = \sqrt{\frac{2}{3} (a_{n + 1} + a_{n})} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{n} =$ ．

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17. 设非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = {\vec{a}}^{2}$ ， $\vec{c} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ，则 $\frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{| \vec{b} | \cdot | \vec{c} |}$ 的最小值是．

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四、解答题

18. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3 \vec{b}) = - 34$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、当实数x为何值时， $x \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ 垂直．

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19. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)$ 的前n项和，满足 $2 S_{n} = 3 a_{n} - a_{1}$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{3} + 1$ ， $a_{4} - 10$ 成等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求使得 $| T_{n} - \frac{3}{2} | < \frac{1}{2020}$ 成立的n的最小值．

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20. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 $c \sin C + b \sin B - a \sin A = 2 \sqrt{3} a \sin B \sin C$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b \cos (\frac{π}{2} - C) = c \cos B$ ，且 $b = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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21. 已知圆 $M : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ，点P是直线 $l : x + 2 y = 0$ 上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．

(1)、当切线PA的长度为 $\sqrt{3}$ 时，求点P的坐标；

(2)、若 $△ P A M$ 的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、求线段AB长度的最小值．

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22. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ，且 $n S_{n} + (n + 2) a_{n} = 4 n (n \in N^{*})$ ．

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(3)、证明： $(S_{1} S_{2} S_{3} \dots S_{n}) T_{n} < \frac{2^{2 n + 1}}{(n + 1) (n + 2)} (n \in N^{*})$ ．

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