浙江省温州市新力量联盟2019-2020学年高一下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2020-08-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 不等式 $x^{2} - 3 x - 10 < 0$ 的解集是（）

A、 $(- 2, 5)$ B、 $(- 5, 2)$ C、 $(- \infty, - 5) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (5, + \infty)$

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2. 若 $\vec{O A}$ ＝(1，－2)， $\vec{O B}$ ＝(1，1)，则 $\vec{A B}$ 等于（）

A、(－1，2) B、(2，－1) C、(0，－3) D、(0，3)

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3. 已知 $a < b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $2 - a > 2 - b$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $a c < b c$

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4. 已知数列{ $a_{n}$ }满足 $a_{2} = 1$ ， $a_{3} = 6$ ，且数列 ${a_{n} + n}$ 为等比数列，则 $a_{4}$ 的值为（）

A、23 B、32 C、36 D、40

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5. $Δ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b = 3$ ， $c = 2$ ， $\cos (B + C) = \frac{1}{4}$ ，则 $a$ =（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{15}$ C、4 D、 $\sqrt{17}$

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6. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 6$ ， $a_{8} = 16$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{S_{2020}} =$ （）

A、 $\frac{2017}{2018}$ B、 $\frac{2018}{2019}$ C、 $\frac{2019}{2020}$ D、 $\frac{2020}{2021}$

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7. 设△ABC的三个内角为A，B，C，向量 $\vec{m} = (\sin A, \sin B)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} \cos B, \sqrt{3} \cos A)$ ，若 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 - \cos C$ ，则 $C$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 已知 $\tan (\frac{π}{4} + A) = - 3$ ，则 $\frac{\sin 2 A}{\sin 2 A + \cos^{2} A}$ =（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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9. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，且满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ，若 $\vec{e}$ 为平面单位向量，则 $| \vec{a} \cdot \vec{e} + \vec{b} \cdot \vec{e} |$ 的最大值（）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $3 \sqrt{3}$

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10. 设a为正实数，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{4}{a_{n}} - 2 (n \in N^{*})$ ，则（）

A、任意 $a > 0$ ，存在 $n \geq 2$ ，使得 $a_{n} < 2$ B、存在 $a > 0$ ，存在 $n \geq 2$ ，使得 $a_{n} < a_{n + 1}$ C、任意 $a > 0$ ，存在 $m \in N^{*}$ ，总有 $a_{m} < a_{n}$ D、存在 $a > 0$ ，存在 $m \in N^{*}$ ，总有 $a_{n} = a_{n + m}$

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二、双空题

11. 已知角 $α$ 的终边经过点（4，-3），则 $\sin α$ =； $\cos (α + π)$ =.

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12. 设实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y - 2 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ y \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最大值为，最小值为.

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13. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = \sqrt{2} A C = 2$ ，点M在 $B C$ 上，且 $\sin ∠ B A M = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin ∠ B M A =$ ， $A M =$ ．

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14. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} - {(\frac{1}{2})}^{n}$ $(n \in N^{*})$ ，则 $a_{1} =$ ； $S_{3} =$ .

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三、填空题

15. 已知 $α ， β$ 都是锐角， $\sin α = \frac{4}{5} ， \cos (α + β) = \frac{5}{13}$ ，则 $\sin β$ =

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16. 已知正实数x，y满足 $x^{2} + 4 y^{2} + 6 x y = 2$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值是.

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17. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的两个平面向量， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 所成角为60°， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ ，若对任意的 $m, n \in R$ ， $| \vec{a} + m \vec{b} |$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则 $| (1 - n) \vec{a} + \frac{n}{2} \vec{b} |$ 的最小值是.

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} x + \cos (2 x - \frac{π}{3}) - 1$ ， $x \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $x \in (- \frac{π}{12} ， \frac{π}{2})$ ，求 $f (x)$ 的值域.

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19. 已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, 2)$ .

(1)、若 $| \vec{b} | = 3 \sqrt{5}$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；

(2)、若 $| \vec{c} | = 2$ ，且 $(\vec{a} + \vec{c}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{c})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角θ的余弦值.

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20. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $(b - a) \sin B + a \sin A = c \sin C$ ，且 $c = 2$ .

(1)、求角C；

(2)、求 $Δ A B C$ 面积的最大值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ 且 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 1}$ 为等比数列；

(2)、记数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 2$

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + 5$ .

(1)、若对于任意的 $x \in (1, 2)$ ， $f (x) > 0$ 恒成立，求实数b的取值范围；

(2)、记 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 内的最大值为M，最小值为m，若 $n \geq$ $M$ $- m$ 有解，求n的取值范围.

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