上海市徐汇区2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = \sin (x + φ)$ 的图象关y轴对称，则实数 $φ$ 的取值可能是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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2. 为了得到函数 $y = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图像，只需将函数 $y = sin 2 x$ 的图像（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

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3. 已知数列 $a_{n} = n \cdot \sin \frac{n π}{2}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{100} =$ （）

A、-48 B、-50 C、-52 D、-49

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4. 设 ${a_{n}}$ 是首项为正数的等比数列，公比为q，对于以下两个命题：(甲)“ $q > 1$ ”是“ ${a_{n}}$ 为递增数列”的充分非必要条件；(乙)“ $q < 0$ ”是“对任意的正整数n， $a_{2 n - 1} + a_{2 n} < 0$ ”的必要非充分条件，下列判断正确的是（）

A、甲和乙均为真命题 B、甲和乙均为假命题 C、甲为假命题，乙为真命题 D、甲为真命题，乙为假命题

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二、填空题

5. 函数 $f (x) = | sin π x |$ 的最小正周期为．

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6. 计算： $\lim_{n \to \infty} \frac{3 n^{2} + 20}{n^{2} + n} =$ .

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7. $\sqrt{2}$ －1与 $\sqrt{2}$ ＋1的等比中项是．

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8. 函数 $y = \arcsin (x + 1)$ 的定义域是.

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9. 若 $\tan α = 3$ ，则 $\tan (\frac{π}{4} - α) =$ .

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10. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $a_{m} = 1024$ ，则 $m =$ .

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11. 已如 $\frac{\sin α + 2 \cos α}{\sin α - \cos α} = 4$ ，则 $\tan α =$ .

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = n (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ .

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13. 已知扇形的圆心角为 $\frac{π}{5}$ ，弧长为 $\frac{4 π}{5}$ ，则扇形的面积为.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 3^{n + 1} + k (n \in N^{*})$ ，且 ${a_{n}}$ 不是等比数列，则常数k的取值范围是.

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15. 设无穷等比数列 ${a_{n}}$ 的各项和为 $\frac{1}{2}$ ，则首项 $a_{1}$ 的取值范围是.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ ､ ${b_{n}}$ 的通项公式分别为 $a_{n} = 3 \cdot 2^{n}$ ， $b_{n} = 2 n + 4 (n \in N^{*})$ ，取出数列 ${a_{n}}$ ､ ${b_{n}}$ 中的不同的项从小到大排列组成一个新的数列 ${c_{n}}$ ，设数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{100} =$ .

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三、解答题

17. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 2$ ， $a_{k} = 38$ ， $S_{k} = 200$ .

(1)、求常数k的值；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{6}) - \frac{1}{2}$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， a]$ 上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 上的所有零点之和.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ， $a_{1} = 3$ ， $b_{n} = a_{n} - 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、若 $c_{n} = - n \cdot b_{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 中的最小项.

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20. 今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现､早隔离.现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域 $A B C D$ 沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区.经测量，边界 $A B$ 与 $A D$ 的长都是200米， $∠ B A D = 60 °$ ， $∠ B C D = 120 °$ .

(1)、若 $∠ A D C = 105 °$ ，求 $B C$ 的长(结果精确到米)；

(2)、围成该区域至多需要多少米长度的板材？(不计损耗，结果精确到米).

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21. 对于数列 ${a_{n}}$ ，设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若存在正整数k，使得 $\frac{S_{2 k}}{S_{2 k - 1}}$ 恰好为数列 ${a_{n}}$ 的一项，则称数列 ${a_{n}}$ 为“ $P (k)$ 数列”.

(1)、已知数列 $1, 2, 3, x$ 为“ $P (2)$ 数到”，求实数x的值；

(2)、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = {\begin{array}{l} n, n = 2 m - 1 (m \in N^{*}) \\ 2 \cdot 3^{\frac{n - 2}{2}}, n = 2 m (m \in N^{*}) \end{array}$ ，试问数列 ${a_{n}}$ 是否是“ $P (k)$ 数列”？若是，求出所有满足条件的正整数k；若不是，请说明理由.

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