上海市黄浦区2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-17 类型：期末考试

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1. “ $M > N$ ”是“ $\lg M > \lg N$ ”成立的（）.

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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2. 下列函数中，周期是 $π$ 的偶函数为（）.

A、 $y = \cos \frac{x}{2}$ B、 $y = \sin 2 x$ C、 $y = | \sin x |$ D、 $y = \sin | x |$

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3. 为了得到函数 $y = \sin 2 x$ 的图象，可以将函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位

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4. 已知 $α \neq \frac{k π}{2} (k \in Z)$ ， $\frac{\sin (k π - α)}{\sin (k π + α)} + \frac{\cos (k π - α)}{\cos (k π + α)} + \frac{\tan (k π - α)}{\tan (k π + α)}$ 的值为（）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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5. 大于 $- 360 °$ 且终边与角 $75 °$ 重合的负角是.

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6. 方程 $2^{1 - x} = \frac{1}{32}$ 的解为.

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7. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若其终边经过点 $P (3, - 4)$ ，则 $\sin α =$ .

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8. 已知 $cos α = \frac{1}{3}$ ，则 $cos 2 α =$ ．

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9. $f (x) = x^{2} + 2 x$ （ $x \geq 0$ ）的反函数 $f^{- 1} (x) =$

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10. 在 $△ A B C$ 中，若面积 $S = \frac{1}{4} (A C^{2} + A B^{2} - B C^{2})$ ，则 $A =$ .

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11. 函数 $y = \tan (\frac{π}{6} x + \frac{π}{3})$ 的单调递增区间为.

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12. 若 $\tan x = \frac{1}{3}$ ， $x \in (π, 2 π)$ ，则x=（结果用反三角函数值表示）.

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13. 若 $\tan 2 α = \frac{1}{4}$ ，则 $\tan (α + \frac{π}{4}) + \tan (α - \frac{π}{4}) =$ .

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14. 若函数 $y = \log_{a} (x + 3)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的反函数的图象都过点P，则点P的坐标是.

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15. 若将 $\sqrt{3} \sin α - \cos α$ 化成 $A \sin (α + φ)$ （ $A < 0$ ， $0 ≤ φ < 2 π$ ）的形式，则 $φ =$ .

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16. 设 $φ \in R$ ，函数 $y = \sin (3 x + φ)$ 的图象与x轴的交点中，任意两个交点之间距离的最小值为.

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17. 已知 $\cos φ = - \frac{3}{5}$ ， $φ \in (π, \frac{3 π}{2})$ ，求 $\cos (φ - \frac{π}{3})$ 和 $\sin (φ + \frac{π}{6})$ 的值.

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18.

(1)、证明对数换底公式： $\log_{b} N = \frac{\log_{a} N}{\log_{a} b}$ （其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b > 0$ 且 $b \neq 1$ ， $N > 0$ ）

(2)、已知 $\log_{3} 2 = m$ ，试用m表示 $\log_{32} 18$ .

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19. 如图，矩形 $A B C D$ 的四个顶点分别在矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的四条边上， $A B = 3$ ， $B C = 5$ .如果 $A B$ 与 $A^{'} B^{'}$ 的夹角为 $α$ ，那么当 $α$ 为何值时，矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的周长最大？并求这个最大值.

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20. 已知函数 $f (x) = \lg \frac{x + 2 a + 1}{x - 3 a + 1}$ ，其中a为非零实常数.

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、试根据a的不同取值，讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性.

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21. 在 $△ A B C$ 中，A、B所对的边长为a、b， $A = 45 °$ ， $b = 3 \sqrt{2}$ .

(1)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求B；

(2)、讨论使B有一解、两解、无解时 $a$ 的取值情况.

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