上海市崇明区2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 函数 $y = \sqrt{2} \sin (x - 45 °) - \sin x$ （）

A、是奇函数但不是偶函数 B、是偶函数但不是奇函数 C、既是奇函数又是偶函数 D、既不是奇函数又不是偶函数

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2. 在数列 ${a_{n}}$ 中，如果 $a_{n} = 41 - 2 n$ （ $n \in N^{*}$ ），那么使这个数列的前n项和 $S_{n}$ 取得最大值时，n的值等于（）

A、19 B、20 C、21 D、22

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3. 各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为前n项和， $n a_{n + 1}^{2} = (n + 1) a_{n}^{2} + a_{n} a_{n + 1}$ ，且 $a_{3} = π$ ，则tanS₄=（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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4. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 在区间 $[0 ， a]$ （其中 $a > 0$ ）上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、 $0 < a \leq \frac{π}{2}$ B、 $0 < a \leq \frac{π}{12}$ C、 $a = k π + \frac{π}{12} ， k \in N^{*}$ D、 $2 k π < a \leq 2 k π + \frac{π}{12} ， k \in N^{*}$

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二、填空题

5. 函数 $y = sin 2 x$ 的最小正周期为

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6. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{2} = 8$ ， $q = \frac{1}{2}$ ，则 $a_{5} =$ .

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7. 如图所示，角 $α$ 的终边与单位圆交于第二象限的点 $A (- \frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$ ，则 $2 \cos α - \sin α =$ .

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8. 已知 $x = \frac{3 π}{4}$ ，那么 $\sin (x + \frac{π}{4}) + 2 \sin (x - \frac{π}{4}) - 4 \cos 2 x + 3 \tan (x + \frac{π}{4}) =$ .

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9. 函数 $y = 2 \cos x - 1$ ， $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 的值域为.

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10. 若1弧度的圆心角所对的弧长为2 $cm$ ，则这个圆心角所在的扇形面积等于 ${cm}^{2}$

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11. 把函数 $y = \sin (x - \frac{3 π}{5})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，得函数 $y = \sin (x + θ)$ （ $0 \leq θ < 2 π$ ）的图象，则 $θ$ 的值等于.

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12. 已知等腰三角形底角正弦值为 $\frac{4}{5}$ ，则顶角的余弦值是

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13. 已知 $f (n) = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + \dots + \frac{1}{2 n}$ ，则 $f (k + 1) = f (k) +$ .

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14. 在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝．

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15. 某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为． (lg2≈0.3010)

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16. 已知互不相等的三个数之积为-8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可成为等差数列，则这三个数排列成的等差数列是.

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三、解答题

17. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = - 1$ ， $2 a_{1} + a_{3} = - 1$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{k} = - 99$ ，求 $k$ ．

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18.

(1)、已知 $\cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ， $x \in [0, π]$ ，求x；

(2)、已知 $\sin θ = - \frac{3}{5}$ ， $θ \in [π, \frac{3 π}{2}]$ ，求 $\tan (θ - \frac{π}{4})$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x + 2 \cos^{2} x - 1$ ， $x \in R$ ．

(1)、将函数 $f (x)$ 化简并表示成 $y = A \sin (ω x + φ) + k$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 \leq φ < 2 π$ ， $k \in R$ ）形式；

(2)、用五点法列表并作出函数 $f (x)$ 一个周期内的图象．







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20. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{n + 1} = (1 + q) a_{n} - q a_{n - 1}, (n \geq 2, q \neq 0)$ ；

(1)、设 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}, (n \in N^{*})$ ，证明 ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、若 $a_{3}$ 是 $a_{6}$ 与 $a_{9}$ 的等差中项，求q的值，并证明：对任意的 $n \in N^{*}$ ， $a_{n}$ 是 $a_{n + 3}$ 与 $a_{n + 6}$ 的等差中项；

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21. 如图，我国的海监船在D岛海域例行维护巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东 $45 °$ 方向与它相距16海里的 $B$ 处有一外国船只，且D岛位于海监船正东 $14 \sqrt{2}$ 海里处．

(1)、求此时该外国船只与D岛的距离；

(2)、观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船航向，并求其速度的最小值．

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