四川省眉山市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-17 类型：中考真卷

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一、单选题

1. -5的绝对值是（）

A、5 B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、－5

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2. 下列计算正确的是（）

A、 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + y^{2}$ B、 $2 x^{2} y + 3 x y^{2} = 5 x^{3} y^{3}$ C、 ${(- 2 a^{2} b)}^{3} = - 8 a^{6} b^{3}$ D、 ${(- x)}^{5} \div x^{2} = x^{3}$

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3. 据世界卫生组织2020年6月26日通报，全球新冠肺炎确诊人数达到941万人，将数据941万人，用科学记数法表示为（）

A、 $9.41 \times 10^{2}$ 人 B、 $9.41 \times 10^{5}$ 人 C、 $9.41 \times 10^{6}$ 人 D、 $0.941 \times 10^{7}$ 人

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4. 如图所示的几何体的主视图为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列说法正确的是（）

A、一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C、对角线相等的四边形是矩形 D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

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6. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 \geq 2 x - 1 \\ 4 x + 5 > 2 (x + 1) \end{array}$ 的整数解有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为 $100$ ，所占比例如下表：

项目

学习

卫生

纪律

活动参与

所占比例

$40 %$

$25 %$

$25 %$

$10 %$

八年级2班这四项得分依次为80，90，84，71，则该班四项综合得分（满分100）为（）

A、81.5 B、82.5 C、84 D、86

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 的外接圆为⊙O， $B C = C D$ ， $∠ D A C = 35 °$ ， $∠ A C D = 45 °$ ，则 $∠ A D B$ 的度数为（）

A、 $55 °$ B、 $60 °$ C、 $65 °$ D、 $70 °$

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9. 一副三角板如图所示摆放，则 $∠ α$ 与 $∠ β$ 的数量关系为（）

A、 $∠ α + ∠ β = 180 °$ B、 $∠ α + ∠ β = 225 °$ C、 $∠ α + ∠ β = 270 °$ D、 $∠ α = ∠ β$

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10. 已知 $a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} = 2 a - b - 2$ ，则 $3 a - \frac{1}{2} b$ 的值为（）

A、4 B、2 C、-2 D、-4

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11. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 a x + a^{2} - 2 a - 4$ （ $a$ 为常数）的图象与x轴有交点，且当 $x > 3$ 时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（）

A、 $a \geq - 2$ B、 $a < 3$ C、 $- 2 \leq a < 3$ D、 $- 2 \leq a \leq 3$

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12. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点F是 $B C$ 边上一点，连接 $A F$ ，以 $A F$ 为对角线作正方形 $A E F G$ ，边 $F G$ 与正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 相交于点H，连接 $D G$ ．以下四个结论：① $∠ E A B = ∠ G A D$ ；② $Δ A F C \sim Δ A G D$ ；③ $2 A E^{2} = A H \cdot A C$ ；④ $D G ⊥ A C$ ．其中正确的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 分解因式： $a^{3} - 4 a^{2} + 4 a =$ .

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14. 设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $2 x^{2} + 3 x - 4 = 0$ 的两个实数根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值为．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 2$ ．将 $△ A B C$ 绕点A按顺时针方向旋转至 $△ A B_{1} C_{1}$ 的位置，点 $B_{1}$ 恰好落在边 $B C$ 的中点处，则 $C C_{1}$ 的长为．

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16. 关于x的分式方程 $\frac{1}{x - 2} + 2 = \frac{1 - k}{2 - x}$ 的解为正实数，则k的取值范围是．

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17. 如图，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ，边 $A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点D，交 $A C$ 于点E．若 $△ A B D$ 的周长为 $26$ ，则 $D E$ 的长为．

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18. 如图，点 $P$ 为⊙O外一点，过点P作 $⊙ O$ 的切线 $P A$ 、 $P B$ ，点A、B为切点．连接 $A O$ 并延长交 $P B$ 的延长线于点C，过点 $C$ 作 $C D ⊥ P O$ ，交 $P O$ 的延长线于点D．已知 $P A = 6$ ， $A C = 8$ ，则 $C D$ 的长为．

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三、解答题

19. 计算： ${(2 - \sqrt{2})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + 2 \sin 45 ° - \sqrt{8}$ ．

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20. 先化简，再求值： $(2 - \frac{2}{a - 2}) \div \frac{a^{2} - 9}{a - 2}$ ，其中 $a = \sqrt{3} - 3$ ．

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21. 某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔 $A B$ ，如图所示，在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为 $30 °$ ，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为 $60 °$ ，求小山 $B C$ 的高度．

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22. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：

(1)、本次调查所得数据的众数是部，中位数是部；

(2)、扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为度；

(3)、请将条形统计图补充完整；

(4)、没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．

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23. 已知一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于 $A (- 3 ， 2)$ 、 $B (1 ， n)$ 两点．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积；

(3)、点P在x轴上，当 $△ P A O$ 为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

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24. “绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元．

(1)、求柏树和杉树的单价各是多少元；

(2)、本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共 $80$ 棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？

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25. 如图， $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 都是等边三角形，点B、C、E三点在同一直线上，连接 $B D$ ， $A D$ ， $B D$ 交 $A C$ 于点F．

(1)、若 $A D^{2} = D F \cdot D B$ ，求证： $A D = B F$ ；

(2)、若 $∠ B A D = 90 °$ ， $B E = 6$ ．
①求 $\tan ∠ D B E$ 的值；

②求 $D F$ 的长．

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26. 如图1，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为 $(3 ， 0)$ ，点C坐标为 $(0 ， 3)$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点P为直线 $B C$ 上方抛物线上的一个动点，当 $△ P B C$ 的面积最大时，求点P的坐标；

(3)、如图2，点M为该抛物线的顶点，直线 $M D ⊥ x$ 轴于点D，在直线 $M D$ 上是否存在点N，使点N到直线 $M C$ 的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

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项目	学习	卫生	纪律	活动参与
所占比例	$40 %$	$25 %$	$25 %$	$10 %$