四川省凉山州2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-17 类型：中考真卷

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一、单选题

1. （﹣1）²⁰²⁰等于（　　）

A、﹣2020 B、2020 C、﹣1 D、1

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2. 如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 点 $A (2, 3)$ 关于x轴对称的点的坐标是（）

A、 $(- 2, - 3)$ B、 $(2, - 3)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(- 2, 3)$

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4. 已知一组数据1，0，3，-1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）

A、-1 B、3 C、-1和3 D、1和3

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5. 一元二次方程x²=2x的解为（　　）

A、x=0 B、x=2 C、x=0或x=2 D、x=0且x=2

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6. 下列等式成立的是（）

A、 $\sqrt{81} = \pm 9$ B、 $| \sqrt{5} - 2 | = - \sqrt{5} + 2$ C、 ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} = - 2$ D、 ${(\tan 45 ° - 1)}^{0} = 1$

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7. 已知一次函数y =（2m+1）x+m-3的图像不经过第二象限，则m的取值范围（）

A、m>- $\frac{1}{2}$ B、m<3 C、- $\frac{1}{2}$ <m<3 D、- $\frac{1}{2}$ <m≤3

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8. 点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段 $A B = 12 c m$ ，则线段BD的长为（）

A、10cm B、8cm C、8cm或10cm D、2cm或4cm

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9. 下列命题是真命题的是（）

A、顶点在圆上的角叫圆周角 B、三点确定一个圆 C、圆的切线垂直于半径 D、三角形的内心到三角形三边的距离相等

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10. 如图所示， $Δ A B C$ 的顶点在正方形网格的格点上，则 $\tan A$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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11. 如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于 $⊙ O$ ，则 $A D ： A B =$ （）

A、 $2 \sqrt{2} ： 3$ B、 $\sqrt{2} ： \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} ： \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3} ： 2 \sqrt{2}$

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，有如下结论：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③ $3 b - 2 c < 0$ ；④ $a m^{2} + b m \geq a + b$ （m为实数）．其中符合题意结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 函数y= $\sqrt{x + 1}$ 中，自变量x的取值范围是．

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14. 因式分解： $a^{3} - a b^{2}$ =.

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15. 如图， $⋄ A B C D$ 的对角线AC、BD相交于点O， $O E / / A B$ 交AD于点E，若OA=1， $Δ A O E$ 的周长等于5，则 $⋄ A B C D$ 的周长等于．

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16. 如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为 $\frac{3}{2} π$ ，则半圆的半径OA的长为．

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17. 如图，矩形OABC的面积为3，对角线OB与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 相交于点D，且 $O B ： O D = 5 ： 3$ ，则k的值为．

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18. 关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x < 3 (x - 3) + 1 \\ \frac{3 x + 2}{4} > x + a \end{array}$ 有四个整数解，则a的取值范围是.

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19. 如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点，若将 $Δ E B F$ 沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为．

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三、解答题

20. 解方程： $x - \frac{x - 2}{2} = 1 - \frac{2 x - 1}{3}$

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21. 化简求值： $(2 x + 3) (2 x - 3) - {(x + 2)}^{2} + 4 (x + 3)$ ，其中 $x = \sqrt{2}$

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22. 如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm ，高AD＝80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm ．

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23. 某校团委在“五·四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统计图，

(1)、第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为；

(2)、补全条形统计图；

(3)、第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品在两个不同班级的概率．

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24. 如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分 $∠ B A C$ 交半圆于点D，过点D作 $D H ⊥ A C$ 与AC的延长线交于点H．

(1)、求证：DH是半圆的切线；

(2)、若 $D H = 2 \sqrt{5}$ ， $\sin ∠ B A C = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求半圆的直径．

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25. 如图，点P、Q分别是等边 $Δ A B C$ 边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．

(1)、如图1，连接AQ、CP求证： $Δ A B Q ≅ Δ C A P$

(2)、如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M， $∠ Q M C$ 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数

(3)、如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M， $∠ Q M C$ 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

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26. 如图，已知直线 $l ： y = - x + 5$

(1)、当反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象与直线 $l$ 在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围

(2)、若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象与直线 $l$ 在第一象限内相交于点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ ，当 $x_{2} - x_{1} = 3$ 时，求k的值并根据图象写出此时关的不等式 $- x + 5 < \frac{k}{x}$ 的解集

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27. 如图， $⊙ O$ 的半径为R，其内接锐角三角形ABC中， $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 所对的边分别是a、b、c

(1)、求证： $\frac{a}{\sin ∠ A} = \frac{b}{\sin ∠ B} = \frac{c}{\sin ∠ C} = 2 R$

(2)、若 $∠ A = 60^{\circ}$ ， $∠ C = 45^{\circ}$ ， $B C = 4 \sqrt{3}$ ，利用（1）的结论求AB的长和 $\sin ∠ B$ 的值

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28. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象过 $O (0 ， 0)$ 、 $A (1 ， 0)$ 、 $B (\frac{3}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 三点

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；

(3)、在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作 $P Q ⊥ x$ 轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．

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