山东省东营市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-17 类型：中考真卷

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一、单选题

1. -6的倒数是（）．

A、6 B、 $\frac{1}{6}$ C、 $- \frac{1}{6}$ D、-6

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2. 下列运算正确的是（）

A、 ${(x^{3})}^{2} = x^{5}$ B、 ${(x - y)}^{2} = x^{2} + y^{2}$ C、 $- x^{2} y^{3} \cdot 2 x y^{2} = - 2 x^{3} y^{5}$ D、 $- (3 x + y) = - 3 x + y$

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3. 利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为，则计算器面板显示的结果为（）

A、-2 B、2 C、±2 D、4

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4. 如图，直线 $A B 、 C D$ 相交于点O，射线 $O M$ 平分 $∠ B O D ，$ 若 $∠ A O C = 42 °$ ，则 $∠ A O M$ 等于（）

A、 $159^{\circ}$ B、 $161^{\circ}$ C、 $169^{\circ}$ D、 $138^{\circ}$

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5. 如图，随机闭合开关 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴交于 $A ， B$ 两点，其对称轴与x轴交于点C其中 $A ， C$ 两点的横坐标分别为-1和1下列说法错误的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $4 a + c = 0$ C、 $16 a + 4 b + c < 0$ D、当 $x > 2$ 时，y随x的增大而减小

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7. 用一个半径为 $3,$ 面积为 $3 π$ 的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、2 D、1

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8. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程 $378$ 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（）

A、96里 B、48里 C、24里 D、12里

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9. 如图1，点P从 $△ A B C$ 的顶点A出发，沿 $A \to B \to C$ 匀速运动到点C，图2是点P运动时线段 $C P$ 的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则 $△ A B C$ 的边 $A B$ 的长度为（）

A、12 B、8 C、10 D、13

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点P是 $A B$ 上一动点(不与 $A 、 B$ 重合) ，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，过点P分别作 $A C 、 B D$ 的垂线，分别交 $A C 、 B D$ 于点 $E 、 F ，$ 交 $A D 、 B C$ 于点 $M 、 N$ ．下列结论：① $△ A P E ≌ △ A M E$ ；② $P M + P N = A C$ ；③ $P E^{2} + P F^{2} = P O^{2}$ ；④ $△ P O F \sim △ B N F$ ；⑤点O在 $M 、 N$ 两点的连线上．其中正确的是（）

A、①②③④ B、①②③⑤ C、①②③④⑤ D、③④⑤

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二、填空题

11. 2020年6月23日9时43分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于 $0.00000002$ 秒，则 $0.00000002$ 用科学记数法表示为．

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12. 因式分解： $12 a^{2} - 3 b^{2} =$ ．

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13. 某校女子排球队队员的年龄分布如下表：
年龄
13
14
15
人数
4
7
4
则该校女子排球队队员的平均年龄是岁．

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14. 已知一次函数y=kx+b的图象经过A（1，﹣1），B（﹣1，3）两点，则k0（填“＞”或“＜”）

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15. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + m = 0$ 有实数根，那么m的取值范围是．

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16. 如图，P为平行四边形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点， $E 、 F$ 分别为 $P A 、 P D$ 上的点，且 $P A = 3 P E ， P D = 3 P F ，$ $△ P E F ， △ P D C ， △ P A B$ 的面积分别记为 $S 、 S_{1} ， S_{2}$ ．若 $S = 2 ，$ 则 $S_{1} + S_{2} =$ ．

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17. 如图，在 $R t △ A O B$ 中， $O B = 2 \sqrt{3} ， ∠ A = 30 ° ， ⊙ O$ 的半径为1，点P是 $A B$ 边上的动点，过点P作 $⊙ O$ 的一条切线 $P Q$ (其中点Q为切点)，则线段 $P Q$ 长度的最小值为．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 $y = x + 1$ 和双曲线 $y = - \frac{1}{x}$ ，在直线上取一点，记为 $A_{1}$ ，过 $A_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交双曲线于点 $B_{1}$ ，过 $B_{1}$ 作y轴的垂线交直线于点 $A_{2}$ ，过 $A_{2}$ 作x轴的垂线交双曲线于点 $B_{2}$ ，过 $B_{2}$ 作 $y$ 轴的垂线交直线于点 $A_{3} ，$ ······，依次进行下去，记点 $A_{n}$ 的横坐标为 $a_{n}$ ，若 $a_{1} = 2 ，$ 则 $a_{2020} =$ ．

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三、解答题

19.

(1)、计算： $\sqrt{27} + {(2 c o s 60^{\circ})}^{2020} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} - | 3 + 2 \sqrt{3} |$ ；

(2)、先化简，再求值： $(x - \frac{2 x y - y^{2}}{x}) \div \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y}$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1, y = \sqrt{2}$ ．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A C$ 于点M弦 $M N / / B C$ 交 $A B$ 于点E，且 $M E = 3 ，$ $A E = 4 ，$ $A M = 5$ ．

(1)、求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求 $⊙ O$ 的直径 $A B$ 的长度．

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21. 如图， $C$ 处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东 $60^{\circ}$ 方向上，与港口A相距 $60 \sqrt{2}$ 海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿 $B C$ 方向行进，此时C位于B的北偏西 $45^{\circ}$ 方向，则从B到达C需要多少小时？

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22. 东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．

作业情况	频数	频率
非常好		0.22
较好	68
一般
不好	40

请根据图表中提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次抽样共调查了多少名学生？

(2)、将统计表中所缺的数据填在表中横线上；

(3)、若该中学有1800名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？

(4)、某学习小组4名学生的作业本中，有2本“非常好”(记为

A_{1} 、 A_{2}

)，

1

本“较好”(记为

B

)，1本“一般”(记为C)，这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率．

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23. 2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共 $20$ 万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：

型号

价格(元/只)

项目

甲

乙

成本

12

4

售价

18

6

(1)、若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？

(2)、如果公司四月份投入成本不超过 $216$ 万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - 3 a x - 4 a$ 的图象经过点 $C (0 ， 2)$ ，交x轴于点 $A 、 B$ (点A在点B左侧)，连接 $B C ，$ 直线 $y = k x + 1 (k > 0)$ 与 $y$ 轴交于点D，与 $B C$ 上方的抛物线交于点E，与 $B C$ 交于点F．

(1)、求抛物线的解析式及点 $A 、 B$ 的坐标；

(2)、 $\frac{E F}{D F}$ 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 如图1，在等腰三角形 $A B C$ 中， $∠ A = 120^{\circ} ， A B = A C ，$ 点 $D 、 E$ 分别在边 $A B 、 A C$ 上， $A D = A E ，$ 连接 $B E ，$ 点 $M 、 N 、 P$ 分别为 $D E 、 B E 、 B C$ 的中点．

(1)、观察猜想
图1中，线段 $N M 、 N P$ 的数量关系是， $∠ M N P$ 的大小为；

(2)、探究证明
把 $△ A D E$ 绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 $M P 、 B D 、 C E ，$ 判断 $△ M N P$ 的形状，并说明理由；

(3)、拓展延伸
把 $△ A D E$ 绕点A在平面内自由旋转，若 $A D = 1 ， A B = 3$ ，请求出 $△ M N P$ 面积的最大值．

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年龄	13	14	15
人数	4	7	4