湖南省永州市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-17 类型：中考真卷

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一、单选题

1. -2020的相反数为（）

A、 $- \frac{1}{2020}$ B、2020 C、-2020 D、 $\frac{1}{2020}$

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2. 永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）

A、 $6.353 \times 10^{5}$ 人 B、 $63.53 \times 10^{5}$ 人 C、 $6.353 \times 10^{6}$ 人 D、 $0.6353 \times 10^{7}$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} b + 2 a b^{2} = 3 a^{3} b^{3}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 $a^{6} \cdot a^{3} = a^{9}$ D、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$

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5. 已知一组数据1，2，8，6，8对这组数据描述正确的是（）

A、众数是8 B、平均数是6 C、中位数是8 D、方差是9

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6. 如图，已知 $A B = D C ， ∠ A B C = ∠ D C B$ ．能直接判断 $△ A B C ≌ △ D C B$ 的方法是（）

A、 $S A S$ B、 $A A S$ C、 $S S S$ D、 $A S A$

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7. 如图，已知 $P A ， P B$ 是 $⊙ O$ 的两条切线，A ， B为切点，线段 $O P$ 交 $⊙ O$ 于点M ．给出下列四种说法：① $P A = P B$ ；② $O P ⊥ A B$ ；③四边形 $O A P B$ 有外接圆；④M是 $△ A O P$ 外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $E F // B C ， \frac{A E}{E B} = \frac{2}{3}$ ，四边形 $B C F E$ 的面积为21，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\frac{91}{3}$ B、25 C、35 D、63

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9. 如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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10. 已知点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 和直线 $y = k x + b$ ，求点P到直线 $y = k x + b$ 的距离d可用公式 $d = \frac{| k x_{0} - y_{0} + b |}{\sqrt{1 + k^{2}}}$ 计算．根据以上材料解决下面问题：如图， $⊙ C$ 的圆心C的坐标为 $(1 ， 1)$ ，半径为1，直线l的表达式为 $y = - 2 x + 6$ ，P是直线l上的动点，Q是 $⊙ C$ 上的动点，则 $P Q$ 的最小值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5} - 1$ C、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5} - 1$ D、2

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二、填空题

11. 在函数 $y = \frac{1}{x - 3}$ 中，自变量x的取值范围是．

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12. 方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 4 \\ 2 x - y = 2 \end{array}$ 的解是．

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13. 若关于x的一元二次方程x²﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．

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14. 永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：

成绩 90≤x≤100 80≤x<90 70≤x<80 60≤x<70 x<60

人数 25 15 5 4 1

根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．

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15. 已知圆锥的底面周长是 $\frac{π}{2}$ 分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．

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16. 已知直线 $a / / b$ ，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若 $∠ 1 = 25 °$ ，则 $∠ 2 =$ ．

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17. 如图，正比例函数 $y = - x$ 与反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图象交于A ， C两点，过点A作 $A B ⊥ x$ 轴于点B ，过点C作 $C D ⊥ x$ 轴于点D ，则 $△ A B D$ 的面积为．

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18. $∠ A O B$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且 $∠ A O B = 60 °$ ，在 $∠ A O B$ 内有一点 $P (4 ， 3)$ ，M ， N分别是 $O A ， O B$ 边上的动点，连接 $P M ， P N ， M N$ ，则 $△ P M N$ 周长的最小值是．

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三、解答题

19. 计算： $2020^{0} + \sqrt[3]{8} \sin 30 ° - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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20. 先化简，再求值： $(\frac{1}{a + 1} - \frac{a + 2}{a^{2} - 1} \cdot \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} + 4 a + 4}) \cdot (a + 2)$ ，其中 $a = 2$ ．

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21. 今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ， B ， C ， D四个等级，A： $90 < S \leq 100$ ，B： $80 < S \leq 90$ ，C： $70 < S \leq 80$ ，D： $S \leq 70$ ，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：

(1)、请把条形统计图补充完整．

(2)、扇形统计图中 $m =$ ， $n =$ ， B等级所占扇形的圆心角度数为．

(3)、该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 表示），两名女生（用 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

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22. 一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73 ， \sqrt{5} \approx 2.24 ， \sqrt{7} \approx 2.65$ ）

(1)、这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．

(2)、渔船航行3小时后到达C处，求A ， C之间的距离．

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23. 某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．

(1)、求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？

(2)、该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？

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24. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B D$ 与 $⊙ O$ 相切于点B ， $B D$ 交 $A C$ 的延长线于点D ， E为 $B D$ 的中点，连接 $C E$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、已知 $B D = 3 \sqrt{5} ， C D = 5$ ，求O ， E两点之间的距离．

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25. 在平面直角坐标系 xOy 中，等腰直角 $△ A B C$ 的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A ， B在x轴上，且 $A B = 4$ ，抛物线经过A ， B ， C三点，如图1所示．

(1)、求抛物线所表示的二次函数表达式．

(2)、过原点任作直线l交抛物线于M ， N两点，如图2所示．
①求 $△ C M N$ 面积的最小值．

②已知 $Q (1 ， - \frac{3}{2})$ 是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．

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26. 某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为 $6cm$ ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．

(1)、写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．

(2)、当重叠部分的形状为如图2所示的四边形 $A B C D$ 时，求证：四边形 $A B C D$ 是菱形．

(3)、设平移的距离为 $x cm (0 < x \leq 6 + 6 \sqrt{2})$ ，两张纸条重叠部分的面积为 $s {cm}^{2}$ ．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．

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成绩	90≤x≤100	80≤x<90	70≤x<80	60≤x<70	x<60
人数	25	15	5	4	1