湖南省益阳市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-17 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 四个实数1，0， $\sqrt{3}$ ，-3中，最大的是（）

A、1 B、0 C、 $\sqrt{3}$ D、-3

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2. 将不等式组 ${\begin{matrix} x + 2 \geq 0 \\ x < 1 \end{matrix}$ 的解集在数轴上表示，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 图所示的几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2，3，4，且这组数据的平均数为4，则这组数据的中位数为（）

A、7 B、4 C、3.5 D、3

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5. 同时满足二元一次方程 $x - y = 9$ 和 $4 x + 3 y = 1$ 的x，y的值为（）

A、 ${\begin{matrix} x = 4 \\ y = - 5 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x = - 4 \\ y = 5 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} x = - 2 \\ y = 3 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} x = 3 \\ y = - 6 \end{matrix}$

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6. 下列因式分解正确的是（）

A、 $a (a - b) - b (a - b) = (a - b) (a + b)$ B、 $a^{2} - 9 b^{2} = {(a - 3 b)}^{2}$ C、 $a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} = {(a + 2 b)}^{2}$ D、 $a^{2} - a b + a = a (a - b)$

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7. 一次函数 $y = k x + b$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $k < 0$ B、 $b = - 1$ C、 $y$ 随 $x$ 的增大而减小 D、当 $x > 2$ 时， $k x + b < 0$

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8. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O，若 $A C = 6$ ， $B D = 8$ ，则 $A B$ 的长可能是（）

A、10 B、8 C、7 D、6

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9. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A C$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点D， $D C$ 平分 $∠ A C B$ ，若 $∠ A = 50^{\circ}$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $25^{\circ}$ B、 $30^{\circ}$ C、 $35^{\circ}$ D、 $40^{\circ}$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，E是 $C D$ 上的一点， $Δ A B E$ 是等边三角形， $A C$ 交 $B E$ 于点F，则下列结论不成立的是（）

A、 $∠ D A E = 30^{\circ}$ B、 $∠ B A C = 45^{\circ}$ C、 $\frac{E F}{F B} = \frac{1}{2}$ D、 $\frac{A D}{A B} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

11. 我国北斗全球导航系统最后一颗组网卫星于2020年6月30日成功定位于距离地球36000千米的地球同步轨道，将 $" 36000 "$ 用科学记数法表示为．

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12. 如图， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A E$ ， $∠ C A E = 42^{\circ}$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为．

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13. 小明家有一个如图所示的闹钟，他观察圆心角 $∠ A O B = 90^{\circ}$ ，测得 $\overset{⌢}{A C B}$ 的长为 $36 c m$ ，则 $\overset{⌢}{A D B}$ 的长为 $c m$ ．

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14. 若反比例函数y= $\frac{k - 1}{x}$ 的图象经过点（﹣2，3），则k= ．

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15. 时光飞逝，十五六岁的我们，童年里都少不了“弹珠”。小朋友甲的口袋中有 $6$ 粒弹珠，其中 $2$ 粒红色， $4$ 粒绿色，他随机拿出 $1$ 颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是．

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16. 若一个多边形的内角和是 $540^{°}$ ，则该多边形的边数是.

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17. 若计算 $\sqrt{12} \times m$ 的结果为正整数，则无理数m的值可以是．（写出一个符合条件的即可）

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18. 某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元．

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三、解答题

19. 计算： ${(- 3)}^{2} + 2 \times (\sqrt{2} - 1) - | - 2 \sqrt{2} |$

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20. 先化简，再求值： $(\frac{2 a - 1}{a + 1} - \frac{a}{a + 1}) \div \frac{a - 1}{a}$ ，其中 $a = - 2$

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21. 如图， $O M$ 是 $⊙ O$ 的半径，过点M作 $⊙ O$ 的切线 $A B$ ，且 $M A = M B$ ， $O A$ ， $O B$ 分别交 $⊙ O$ 于点C，D，求证： $A C = B D$

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22. 为了了解现行简化汉字的笔画画数情况，某同学随机选取语文课本的一篇文章，对其部分文字的笔画数进行统计，结果如下表：

笔画数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
字数	4	8	10	16	14	20	24	36	16	14	11	9	10	7	1

请解答下列问题：

(1)、被统计汉字笔画数的众数是多少？

(2)、该同学将数据进行整理，按如下方案分组统计，并制作扇形统计图：

分组	笔画数 $x$ （画）	字数（个）
A组	$1 \leq x \leq 3$	22
B组	$4 \leq x \leq 6$	m
C组	$7 \leq x \leq 9$	76
D组	$10 \leq x \leq 12$	n
E组	$13 \leq x \leq 15$	18

请确定上表中m、n的值及扇形统计图中组对应扇形圆心角的度数．

(3)、若这篇文章共有3500个汉字，估计笔画数在

7 ~ 9

画（

C

组）的字数有多少个？

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23. 沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形 $A B C D$ ，高 $D H = 12$ 米，斜坡 $C D$ 的坡度 $i = 1 ： 1$ ，此处大堤的正上方有高压电线穿过， $P D$ 表示高压线上的点与堤面 $A D$ 的最近距离（P、D、H在同一直线上），在点C处测得 $∠ D C P = 26 °$ ．

(1)、求斜坡 $C D$ 的坡角 $α$

(2)、电力部门要求此处高压线离堤面 $A D$ 的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？（参考数据： $\sin 26^{\circ} \approx 0.44$ ， $\tan 26^{\circ} \approx 0.49$ ， $\sin 71^{\circ} \approx 0.95$ ， $\tan 71^{\circ} \approx 2.90$ ）

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24. “你怎么样，中国便是怎么样：你若光明，中国便不黑暗”。2019年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城。针对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有 $7$ 人不能到厂生产，为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．

(1)、求原来生产防护服的工人有多少人？

(2)、复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？

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25. 如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是 $(4 ， 2)$ ，点P为一个动点，过点P作x轴的垂线 $P H$ ，垂足为H，点P在运动过程中始终满足 $P F = P H$ （提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为 $(x_{1} ， y_{1})$ 、 $(x_{2} ， y_{2})$ ，则 $M N^{2} = {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}$ ）

(1)、判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）

(2)、设动点P的坐标为 $(x ， y)$ ，求y关于x的函数表达式：填写下表，并在给定坐标系中画出函数的图象：

x

...

0

2

4

6

8

...

y

...

...

(3)、点C关于x轴的对称点为 $C^{'}$ ，点P在直线 $C^{'} F$ 的下方时，求线段 $P F$ 长度的取值范围

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26. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：

(1)、如图1，正方形 $A B C D$ 中，E是 $C D$ 上的点，将 $Δ B C E$ 绕B点旋转，使 $B C$ 与 $B A$ 重合，此时点E的对应点F在 $D A$ 的延长线上，则四边形 $B E D F$ 为“直等补”四边形，为什么？

(2)、如图2，已知四边形 $A B C D$ 是“直等补”四边形， $A B = B C = 5$ ， $C D = 1$ ， $A D > A B$ ，点 $B$ 到直线 $A D$ 的距离为 $B E$ ．
①求 $B E$ 的长．

②若M、N分别是 $A B$ 、 $A D$ 边上的动点，求 $Δ M N C$ 周长的最小值．

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x	...	0	2	4	6	8	...
y	...						...