吉林省长春市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-17 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）

A、=1 B、-1.5 C、-3 D、-4.2

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2. 为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用.79000这个数用科学记数法表示为（）

A、 $79 \times 10^{3}$ B、 $7.9 \times 10^{4}$ C、 $0.79 \times 10^{5}$ D、 $4 a b$

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3. 下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 不等式 $x + 2 \geq 3$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B，塔身中心线 $A B$ 与垂直中心线 $A C$ 的夹角为 $∠ A$ ，过点B向垂直中心线 $A C$ 引垂线，垂足为点D．通过测量可得 $A B$ 、 $B D$ 、 $A D$ 的长度，利用测量所得的数据计算 $∠ A$ 的三角函数值，进而可求 $∠ A$ 的大小．下列关系式正确的是（）

A、 $\sin A = \frac{B D}{A B}$ B、 $\cos A = \frac{A B}{A D}$ C、 $\tan A = \frac{A D}{B D}$ D、 $\sin A = \frac{A D}{A B}$

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6. 如图， $A B$ 是⊙O的直径，点C、D在⊙O上， $∠ B D C = 20 °$ ，则 $∠ A O C$ 的大小为（）

A、 $40 °$ B、 $140 °$ C、 $160 °$ D、 $170 °$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B > A C$ ．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于 $B C$ 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线 $M N$ ，与边 $A B$ 相交于点D，连结 $C D$ ．下列说法不一定正确的是（）

A、 $∠ B D N = ∠ C D N$ B、 $∠ A D C = 2 ∠ B$ C、 $∠ A C D = ∠ D C B$ D、 $2 ∠ B + ∠ A C D = 90 °$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(3 ， 2)$ ， $A B ⊥ x$ 轴于点B，点C是线段 $O B$ 上的点，连结 $A C$ ．点P在线段 $A C$ 上，且 $A P = 2 P C$ ．函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点P．当点C在线段 $O B$ 上运动时，k的取值范围是（）

A、 $0 < k \leq 2$ B、 $\frac{2}{3} \leq k \leq 3$ C、 $\frac{2}{3} \leq k \leq 2$ D、 $\frac{8}{3} \leq k \leq 4$

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二、填空题

9. 长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费元．

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10. 分解因式： $x^{2} - 4 =$ .

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11. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m$ 的值是．

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12. 正五边形的一个外角的大小为度．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 2$ ，以点C为圆心，线段 $C A$ 的长为半径作 $\overset{⌢}{A D}$ ，交 $C B$ 的延长线于点D，则阴影部分的面积为（结果保留 $π$ ）．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(0 ， 2)$ ，点B的坐标为 $(4 ， 2)$ ．若抛物线 $y = - \frac{3}{2} {(x - h)}^{2} + k$ （h、k为常数）与线段 $A B$ 交于C、D两点，且 $C D = \frac{1}{2} A B$ ，则k的值为．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： ${(a - 3)}^{2} + 2 (3 a - 1)$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ ．

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16. 现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ，图案为“保卫和平”的卡片记为B）

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17. 图①、图②、图③均是 $3 \times 3$ 的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段 $A B$ 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以 $A B$ 为边画 $△ A B C$ ．

要求：

a.在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；

b.三个图中所画的三角形的面积均不相等；

c.点C在格点上．

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18. 在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？

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19. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，O是对角线 $A C$ 、 $B D$ 的交点， $B E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为点E、F．

(1)、求证： $O E = O F$ ．

(2)、若 $B E = 5$ ， $O F = 2$ ，求 $\tan ∠ O B E$ 的值．

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20. 空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气．下图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．

2014—-2019年长春市空气质量级别天数统计表：

空气质量级别天数年份	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染
2014	30	215	73	28	13	6
2015	43	193	87	19	15	8
2016	51	237	58	15	5	0
2017	65	211	62	16	9	2
2018	123	202	39	0	1	0
2019	126	180	38	16	5	0

2014-2019年长春市空气质量为“达标”和“优”的天数折线统计图：

根据上面的统计图表回答下列问题：

(1)、长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是年．

(2)、长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为天，平均数为天．

(3)、长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为（精确到

1 %

）．（空气质量为“优”=[（今年空气质量为优的天数-去年空气质量为优的天数）÷去年空气质量为优的天数]×100％

(4)、你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．

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21. 已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从 $B$ 地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．

(1)、甲车的速度为千米/时，a的值为．

(2)、求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．

(3)、当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．

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22. （教材呈现）下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

(1)、（问题解决）
如图①，已知矩形纸片 $A B C D (A B > A D)$ ，将矩形纸片沿过点 $D$ 的直线折叠，使点A落在边 $D C$ 上，点A的对应点为 $A^{'}$ ，折痕为 $D E$ ，点E在 $A B$ 上．求证：四边形 $A E A^{'} D$ 是正方形．

(2)、（规律探索）由（问题解决）可知，图①中的 $Δ A^{'} D E$ 为等腰三角形．现将图①中的点 $A^{'}$ 沿 $D C$ 向右平移至点 $Q$ 处（点 $Q$ 在点 $C$ 的左侧），如图②，折痕为 $P F$ ，点 $F$ 在 $D C$ 上，点P在 $A B$ 上，那么 $Δ P Q F$ 还是等腰三角形吗？请说明理由．

(3)、（结论应用）在图②中，当 $Q C = Q P$ 时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为 $Q G$ ，点G在 $A B$ 上．要使四边形 $P G Q F$ 为菱形，则 $\frac{A D}{A B} =$ ．

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23. 如图①，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ．点P从点A出发，沿折线AB- BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动.当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ.设点P的运动时间为t秒.。

(1)、当点P与点B重合时，求t的值．

(2)、用含 $t$ 的代数式表示线段 $C E$ 的长．

(3)、当 $△ P D Q$ 为锐角三角形时，求t的取值范围．

(4)、如图②，取 $P D$ 的中点M，连结 $Q M$ ．当直线 $Q M$ 与 $△ A B C$ 的一条直角边平行时，直接写出t的值．

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24. 在平面直角坐标系中，函数 $y = x^{2} - 2 a x - 1$ （ $a$ 为常数）的图象与y轴交于点A．

(1)、求点A的坐标．

(2)、当此函数图象经过点 $(1 ， 2)$ 时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．

(3)、当 $x \leq 0$ 时，若函数 $y = x^{2} - 2 a x - 1$ （a为常数）的图象的最低点到直线 $y = 2 a$ 的距离为2，求a的值．

(4)、设 $a < 0$ ， $R t △ E F G$ 三个顶点的坐标分别为 $E (- 1 ， - 1)$ 、 $F (- 1 ， a - 1)$ 、 $G (0 ， a - 1)$ ．当函数 $y = x^{2} - 2 a x - 1$ （ $a$ 为常数）的图象与 $△ E F G$ 的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $P^{'}$ （ $P^{'}$ 与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $A^{'}$ ．若 $A A^{'} = 2 P P^{'}$ ，直接写出a的值．

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