辽宁省沈阳市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-13 类型：中考真卷

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一、选择题

1. 下列有理数中，比0小的数是（）

A、-2 B、1 C、2 D、3

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2. 2020年5月，中科院沈阳自动化所主持研制的“海斗一号”万米海试成功，下潜深度超10900米，刷新我国潜水器最大下潜深度记录.将数据10900用科学记数法表示为（）

A、 1.09×10³ B、1.09×10⁴ C、10.9×10⁵ D、0.109×10⁵

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3. 下图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(2 a)}^{3} = 8 a^{3}$ D、 $a^{3} \div a = a^{3}$

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5. 如图，直线 $A B // C D$ ，且 $A C ⊥ C B$ 于点 $C$ ，若 $∠ B A C = 35 °$ ，则 $∠ B C D$ 的度数为（）

A、65° B、55° C、45° D、35°

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6. 不等式 $2 x \leq 6$ 的解集是（）

A、 $x \leq 3$ B、 $x \geq 3$ C、 $x < 3$ D、 $x > 3$

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7. 下列事件中，是必然事件的是（）

A、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B、任意买一张电影票，座位号是3的倍数 C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯

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8. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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9. 一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (- 3 ， 0)$ ，点 $B (0 ， 2)$ ，那么该图象不经过的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ，以点 $A$ 为圆心， $A D$ 长为半径画弧交边 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ ，则 $\overset{⌢}{D E}$ 的长为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $π$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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二、填空题

11. 因式分解： $2 x^{2} + x =$ .

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12. 二元一次方程组 ${\begin{matrix} x + y = 5 \\ 2 x - y = 1 \end{matrix}$ 的解是。

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13. 甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为 $S_{甲}^{2} = 2.9 ， S_{乙}^{2} = 1.2$ ，则两人成绩比较稳定的是.(填“甲”或“乙”)

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14. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在 $△ O A B$ 中， $A O = A B ， A C ⊥ O B$ 于点C，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，若OB=4，AC=3，则k的值为.

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15. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点M为边 $A D$ 上一点， $A M = 2 M D$ ，点E，点 $F$ 分别是 $B M ， C M$ 中点，若 $E F = 6$ ，则 $A M$ 的长为.

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，对角线 $A C ， B D$ 相交于点O，点P为边 $A D$ 上一动点，连接 $O P$ ，以 $O P$ 为折痕，将 $△ A O P$ 折叠，点A的对应点为点E，线段 $P E$ 与 $O D$ 相交于点F.若 $△ P D F$ 为直角三角形，则 $D P$ 的长.

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三、解答题

17. 计算： $2 \sin 60^{°} + {(- \frac{1}{3})}^{- 2} + {(π - 2020)}^{0} + | 2 - \sqrt{3} |$

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18. 沈阳市图书馆推出“阅读沈阳书香盛京”等一系列线上线下相融合的阅读推广活动，需要招募学生志愿者.某校甲、乙两班共有五名学生报名，甲班一名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生.现从甲、乙两班各随机抽取一名学生作为志愿者，请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生性别相同的概率.(温馨提示：甲班男生用 $A$ 表示，女生用 $B$ 表示；乙班男生用 $a$ 表示，两名女生分别用 $b_{1} ， b_{2}$ 表示)

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19. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 的垂直平分线分别与边 $A B$ 和边 $C D$ 的延长线交于点M，N，与边 $A D$ 交于点E，垂足为点O.

(1)、求证： $△ A O M ≌ △ C O N$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $A D = 6$ ，请直接写出 $A E$ 的长为.

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20. 某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类.现随机抽取该市 $m$ 吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；

(3)、扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为度；

(4)、根据抽样调查的结果，请你估计该市200吨垃圾中约有多少吨可回收物.

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21. 某工程队准备修建一条长 $3000 m$ 的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $O$ 为 $B C$ 边上一点，以点O为圆心， $O B$ 长为半径的圆与边 $A B$ 相交于点D，连接 $D C$ ，当 $D C$ 为 $⊙ O$ 的切线时.

(1)、求证： $D C = A C$ ；

(2)、若 $D C = D B ， ⊙ O$ 的半径为1，请直接写出 $D C$ 的长为.

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23. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A O B$ 的顶点O是坐标原点，点A的坐标为 $（ 4 ， 4 ）$ ，点B的坐标为 $（ 6 ， 0 ）$ ，动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（ $0 < t < 4$ ），过点P作 $P N / x$ 轴，分别交 $A O ， A B$ 于点M，N.

(1)、填空： $A O$ 的长为， $A B$ 的长为

(2)、当 $t = 1$ 时，求点N的坐标：

(3)、请直接写出 $M N$ 的长为（用含t的代数式表示）；

(4)、点 $E$ 是线段 $M N$ 上一动点（点E不与点 $M ， N$ 重合）， $△ A O E$ 和 $△ A B E$ 的面积分别表示为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，当 $t = \frac{4}{3}$ 时，请直接写出 $S_{1} \cdot S_{2}$ （即 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的积）的最大值为.

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24. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = α$ ，点P为线段 $C A$ 延长线上一动点，连接 $P B$ ，将线段 $P B$ 绕点P逆时针旋转，旋转角为 $α$ ，得到线段 $P D$ ，连接 $D B ， D C$ .

(1)、如图1，当 $α = 60 °$ 时，
①求证： $P A = D C$ ；

②求 $∠ D C P$ 的度数：

(2)、如图2，当 $α = 120 °$ 时，请直接写出 $P A$ 和 $D C$ 的数量关系为；

(3)、当 $α = 120 °$ 时，若 $A B = 6 ， B P = \sqrt{31}$ 时，请直接写出点D到 $C P$ 的距离为.

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25. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $B (6 ， 0)$ 和点 $C (0 ， - 3)$ ，

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图，线段 $O C$ 绕原点O逆时针旋转30°得到线段 $O D$ .过点 $B$ 作射线 $B D$ ，点M是射线 $B D$ 上一点(不与点B重合)，点M关于x轴的对称点为点N，连接 $N M ， N B$

①请直接写出 $△ M B N$ 的形状为_▲_.

②设 $Δ M B N$ 的面积为 $S_{1} ， △ O D B$ 的面积为是 $S_{2}$ ，当 $S_{1} = \frac{2}{3} S_{2}$ 时，求点M的坐标；

(3)、如图，在（2）的结论下，过点B作 $B E ⊥ B N$ ，交 $N M$ 的延长线于点E，线段 $B E$ 绕点B逆时针旋转，旋转角为 $α (0^{°} < α < 120^{°})$ 得到线段 $B F$ ，过点F作 $F K // x$ 轴，交射线 $B E$ 于点K， $∠ K B F$ 的角平分线和 $∠ K F B$ 的角平分线相交于点G，当 $B G = 2 \sqrt{3}$ 时，请直接写出点G的坐标为.

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