四川省宜宾市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-12 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 6的相反数为（）

A、-6 B、6 C、 $- \frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{6}$

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2. 我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度是7100米/秒，将7100用科学记数法表示为（）

A、7100 B、 $0.71 \times 10^{4}$ C、 $71 \times 10^{2}$ D、 $7.1 \times 10^{3}$

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3. 如图所示，圆柱的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 计算正确的是（）

A、 $3 a + 2 b = 5 a b$ B、 ${(- 2 a)}^{2} = - 4 a^{2}$ C、 ${(a + 1)}^{2} = a^{2} + 2 a + 1$ D、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$

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5. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 < 0 \\ - 2 x - 1 \leq 1 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 7名学生的鞋号（单位：厘米）由小到大是：20，21，22，22，23，23，则这组数据的众数和中位数分别是（）

A、20，21 B、21，22 C、22，22 D、22，23

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7. 如图，M，N分别是 $Δ A B C$ 的边AB，AC的中点，若 $∠ A = 65 ° ， ∠ A N M = 45 °$ ，则 $∠ B$ =（）

A、 $20 °$ B、 $45 °$ C、 $65 °$ D、 $70 °$

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8. 学校为了丰富学生的知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学书的本数相等，设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（）

A、 $\frac{15000}{x - 8} = \frac{12000}{x}$ B、 $\frac{15000}{x + 8} = \frac{12000}{x}$ C、 $\frac{15000}{x} = \frac{12000}{x - 8}$ D、 $\frac{15000}{x} = \frac{12000}{x} + 8$

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9. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作 $C D ⊥ A B$ 于D，且 $C D = 4 ， B D = 3$ ，则 $⊙ O$ 的周长为（）

A、 $\frac{25}{3} π$ B、 $\frac{50}{3} π$ C、 $\frac{625}{9} π$ D、 $\frac{625}{36} π$

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10. 某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（）

A、2种 B、3种 C、4种 D、5种

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11. 如图， $Δ A B C ， Δ E C D$ 都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结 $B E ， A D$ ，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且 $B M = \frac{1}{3} B E ， A N = \frac{1}{3} A D$ ，则 $Δ C M N$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、不等边三角形

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12. 函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)，其中 $n > 0$ ，以下结论正确的是（）
① $a b c > 0$ ；

②函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 在 $x = 1 ， x = - 2$ 处的函数值相等；

③函数 $y = k x + 1$ 的图象与的函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象总有两个不同的交点；

④函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 在 $- 3 \leq x \leq 3$ 内既有最大值又有最小值．

A、①③ B、①②③ C、①④ D、②③④

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二、填空题

13. 分解因式： $a^{3} - a =$ .

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14. 如图，A，B，C是 $⊙ O$ 上的三点，若 $Δ O B C$ 是等边三角形，则 $\cos ∠ A =$ ．

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15. 一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ 的两根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + 2 x {}_{1}x_{2} + \frac{x_{1}}{x_{2}} =$

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $D A ⊥ A B ， C B ⊥ A B ， A D = 3 ， A B = 5 ， B C = 2 ， P$ 是AB上一动点，则 $P C + P D$ 的最小值是

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17. 定义：分数 $\frac{n}{m}$ （m，n为正整数且互为质数）的连分数（其中为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1），记作 $\frac{n}{m} \overset{Δ}{=} \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ....$ ：例如 $\frac{7}{19} \overset{Δ}{=} \frac{1}{\frac{19}{7}} = \frac{1}{2 + \frac{5}{7}} = \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{2}{5}}} = \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{5}{2}}}} = \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}} ....$ ， $\frac{7}{19}$ 的连分数是 $\frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}}$ ，记作 $\frac{7}{19} \overset{Δ}{=} \frac{1}{2} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ ，则 $\overset{Δ}{=} \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ．

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18. 在直角三角形ABC中， $∠ A C B = 90^{°} ， D$ 是AB的中点，BE平分 $∠ A B C$ 交AC于点E连接CD交BE于点O，若 $A C = 8 ， B C = 6$ ，则OE的长是．

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三、解答题

19.

(1)、计算： ${(\frac{1}{4})}^{- 1} - {(π - 3)}^{0} - | - 3 | + {(- 1)}^{2020}$

(2)、化简： $\frac{2 a^{2} - 2 a}{a^{2} - 1} \div (1 - \frac{1}{a + 1})$

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20. 如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使 $D E = A D$ ，连接CE．

(1)、求证： $Δ A B D ≅ Δ E C D$

(2)、若 $Δ A B D$ 的面积为5，求 $Δ A C E$ 的面积．

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21. 在疫情期间，为落实停课不停学，某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任教老师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习，参入调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图，解答下列问题．

(1)、本次受调查的学生有人；

(2)、补全条形统计图；

(3)、根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生与任课教师在线辅导？

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22. 如图， $A B ， C D$ 两楼地面距离BC为 $30 \sqrt{3}$ 米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部点D的仰角为45度．

(1)、求 $∠ C A D$ 的大小；

(2)、求楼CD的高度（结果保留根号）．

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23. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图像与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x < 0)$ 的图像交于 $A (- 3 ， n) ， B (- 1 ， - 3)$ 两点，过点A作 $A C ⊥ O P$ 于点C．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、求四边形ABOC的面积．

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24. 如图，已知AB是圆O的直径，点C是圆上异于A，B的一点，连接BC并延长至点D，使得 $C D = B C$ ，连接AD交 $⊙ O$ 于点E，连接BE．

(1)、求证： $Δ A B D$ 是等腰三角形；

(2)、连接OC并延长，与B以为切点的切线交于点F，若 $A B = 4 ， C F = 1$ ，求 $D E$ 的长．

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25. 如图，已知二次函数图象的顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图象于M，N两点

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、P为平面内一点，当 $Δ P M N$ 时等边三角形时，求点P的坐标；

(3)、在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和和点N，且与直线 $y = - 1$ 相切，若存在，求出点E的坐标，并求 $⊙ E$ 的半径；若不存在，说明理由．

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