山西省2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-12 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 计算 $(- 6) \div (- \frac{1}{3})$ 的结果是（）

A、 $- 18$ B、 $2$ C、 $18$ D、 $- 2$

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2. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $3 a + 2 a = 5 a^{2}$ B、 $- 8 a^{2} \div 4 a = 2 a$ C、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 8 a^{6}$ D、 $4 a^{3} \cdot 3 a^{2} = 12 a^{6}$

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4. 下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（）

A、图形的平移 B、图形的旋转 C、图形的轴对称 D、图形的相似

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6. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 6 > 0 \\ 4 - x < - 1 \end{array}$ 的解集是（）

A、 $x > 5$ B、 $3 < x < 5$ C、 $x < 5$ D、 $x > - 5$

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7. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $C (x_{3} ， y_{3})$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $(k < 0)$ 的图像上，且 $x_{1} < x_{2} < 0 < x_{3}$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ B、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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8. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 $A C = B D = 12 c m$ ， $C$ ， $D$ 两点之间的距离为 $4 c m$ ，圆心角为 $60 °$ ，则图中摆盘的面积是（）

A、 $80 π c m^{2}$ B、 $40 π c m^{2}$ C、 $24 π c m^{2}$ D、 $2 π c m^{2}$

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9. 竖直上抛物体离地面的高度 $h (m)$ 与运动时间 $t (s)$ 之间的关系可以近似地用公式 $h = - 5 t^{2} + v_{0} t + h_{0}$ 表示，其中 $h_{0} (m)$ 是物体抛出时离地面的高度， $v_{0} (m / s)$ 是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面 $1.5 m$ 的高处以 $20 m / s$ 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）

A、 $23.5 m$ B、 $22.5 m$ C、 $21.5 m$ D、 $20.5 m$

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10. 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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二、填空题

11. 计算： ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2} - \sqrt{24} =$ ．

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12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第 $1$ 个图案有 $4$ 个三角形，第 $2$ 个图案有 $7$ 个三角形，第 $3$ 个图案有 $10$ 个三角形 $\dots$ 按此规律摆下去，第 $n$ 个图案有个三角形（用含 $n$ 的代数式表示）．

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13. 某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了

6

次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在

6

次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：

甲	$12.0$	$12.0$	$12.2$	$11.8$	$12.1$	$11.9$
乙	$12.3$	$12.1$	$11.8$	$12.0$	$11.7$	$12.1$

由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是．

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14. 如图是一张长 $12 c m$ ，宽 $10 c m$ 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积 $24 c m^{2}$ 是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 $c m$ ．

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15. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点， $A E$ 与 $C D$ 交于点 $F$ ，则 $D F$ 的长为．

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三、解答题

16.

(1)、计算： ${(- 4)}^{2} \times {(- \frac{1}{2})}^{3} - (- 4 + 1)$

(2)、下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x + 1}{2 x + 6}$

$= \frac{(x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$     第一步

$= \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$            第二步

$= \frac{2 (x - 3)}{2 (x + 3)} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$         第三步

$= \frac{2 x - 6 - (2 x + 1)}{2 (x + 3)}$          第四步

$= \frac{2 x - 6 - 2 x + 1}{2 (x + 3)}$            第五步

$= - \frac{5}{2 x + 6}$                 第六步

任务一：填空：①以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是或填为；

②第步开始出现不符合题意，这一步错误的原因是；

(3)、任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
解； $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x + 1}{2 x + 6}$

$= \frac{(x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$

$= \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$

$= \frac{2 (x - 3)}{2 (x + 3)} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$

$= \frac{2 x - 6 - (2 x + 1)}{2 (x + 3)}$

$= \frac{2 x - 6 - 2 x - 1}{2 (x + 3)}$

$= - \frac{7}{2 x + 6}$ ．

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．

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17. $2020$ 年 $5$ 月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满 $600$ 元立减 $128$ 元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高 $50 %$ 后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金 $568$ 元．求该电饭煲的进价．

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18. 如图，四边形 $O A B C$ 是平行四边形，以点 $O$ 为圆心， $O C$ 为半径的 $⊙ O$ 与 $A B$ 相切于点 $B$ ，与 $A O$ 相交于点 $D$ ， $A O$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $E B$ 交 $O C$ 于点 $F$ ，求 $∠ C$ 和 $∠ E$ 的度数．

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19. $2020$ 年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通， $5 G$ 基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《 $2020$ 新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（ $5 G$ 基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．下图是其中的一个统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、填空：图中 $2020$ 年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是亿元；

(2)、甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“ $5 G$ 基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；

(3)、小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为 $W$ ， $G$ ， $D$ ， $R$ ， $X$ 的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为 $W$ （ $5 G$ 基站建设）和 $R$ （人工智能）的概率．

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20. 阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

×年×月×日星期日

没有直角尺也能作出直角

今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线 $A B$ ，现根据木板的情况，要过 $A B$ 上的一点 $C$ ，作出 $A B$ 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？

办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在 $A B$ 上量出 $C D = 30 c m$ ，然后分别以 $D$ ， $C$ 为圆心，以 $50 c m$ 与 $40 c m$ 为半径画圆弧，两弧相交于点 $E$ ，作直线 $C E$ ，则 $∠ D C E$ 必为 $90 °$ ．

办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出 $M$ ， $N$ 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点 $M$ 与点 $C$ 重合，用铅笔在木板上将点 $N$ 对应的位置标记为点 $Q$ ，保持点 $N$ 不动，将木棒绕点 $N$ 旋转，使点 $M$ 落在 $A B$ 上，在木板上将点 $M$ 对应的位置标记为点 $R$ ．然后将 $R Q$ 延长，在延长线上截取线段 $Q S = M N$ ，得到点 $S$ ，作直线 $S C$ ，则 $∠ R C S = 90 °$ ．

我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？

……

任务：

(1)、填空；“办法一”依据的一个数学定理是；

(2)、根据“办法二”的操作过程，证明 $∠ R C S = 90 °$ ；

(3)、①尺规作图：请在图③的木板上，过点 $C$ 作出 $A B$ 的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）

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21. 图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形 $A B C$ 和 $D E F$ 是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称， $B C$ 和 $E F$ 均垂直于地面，扇形的圆心角 $∠ A B C = ∠ D E F = 28 °$ ，半径 $B A = E D = 60 c m$ ，点 $A$ 与点 $D$ 在同一水平线上，且它们之间的距离为 $10 c m$ ．

(1)、求闸机通道的宽度，即 $B C$ 与 $E F$ 之间的距离（参考数据： $\sin 28 ° \approx 0.47$ ， $\cos 28 ° \approx 0.88$ ， $\tan 28 ° \approx 0.53$ ）；

(2)、经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的 $2$ 倍， $180$ 人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约 $3$ 分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．

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22. 综合与实践
问题情境：

如图①，点 $E$ 为正方形 $A B C D$ 内一点， $∠ A E B = 90 °$ ，将 $R t Δ A B E$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $Δ C B E^{'}$ （点 $A$ 的对应点为点 $C$ ），延长 $A E$ 交 $C E^{'}$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ ．

猜想证明：

(1)、试判断四边形 $B E^{'} F E$ 的形状，并说明理由；

(2)、如图②，若 $D A = D E$ ，请猜想线段 $C F$ 与 $F E^{'}$ 的数量关系并加以证明；
解决问题：

(3)、如图①，若 $A B = 15$ ， $C F = 3$ ，请直接写出 $D E$ 的长．

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23. 综合与探究
如图，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ ， $D$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，点 $D$ 的坐标为 $(4 ， - 3)$ ．

(1)、请直接写出 $A$ ， $B$ 两点的坐标及直线 $l$ 的函数表达式；

(2)、若点 $P$ 是抛物线上的点，点 $P$ 的横坐标为 $m$ $(m \geq 0)$ ，过点 $P$ 作 $P M ⊥ x$ 轴，垂足为 $M$ ． $P M$ 与直线 $l$ 交于点 $N$ ，当点 $N$ 是线段 $P M$ 的三等分点时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、若点 $Q$ 是 $y$ 轴上的点，且 $∠ A D Q = 45 °$ ，求点 $Q$ 的坐标．

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