内蒙古通辽市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-12 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）

A、 $0.3 \times 10^{5}$ B、 $3 \times 10^{4}$ C、 $30 \times 10^{3}$ D、3万

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2. 下列说法错误的是（）

A、 $2 a$ 是2个数a的和 B、 $2 a$ 是2和数a的积 C、 $2 a$ 是单项式 D、 $2 a$ 是偶数

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3. 下列事件中是不可能事件的是（）

A、守株待兔 B、瓮中捉鳖 C、水中捞月 D、百步穿杨

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4. 如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使 $∠ α$ 和 $∠ β$ 互余的摆放方式是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若关于x的方程kx²﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A、k＜1 B、k≤1 C、k＜1且k≠0 D、k≤1且k≠0

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6. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图， $P A ， P B$ 分别与 $⊙ O$ 相切于 $A ， B$ 两点， $∠ P = 72 °$ ，则 $∠ C =$ （）

A、 $108 °$ B、 $72 °$ C、 $54 °$ D、 $36 °$

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8. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，四边形 $A D C E$ 是平行四边形，增加下列条件，能判断 $▱ A D C E$ 是菱形的是（）

A、 $∠ B A C = 90 °$ B、 $∠ D A E = 90 °$ C、 $A B = A C$ D、 $A B = A E$

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9. 如图， $O C$ 交双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 于点A ，且 $O C ： O A = 5 ： 3$ ，若矩形 $A B C D$ 的面积是8，且 $A B // x$ 轴，则k的值是（）

A、18 B、50 C、12 D、 $\frac{200}{9}$

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10. 从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）
⑴无理数都是无限小数；

⑵因式分解 $a x^{2} - a = a (x + 1) (x - 1)$ ；

⑶棱长是 $1cm$ 的正方体的表面展开图的周长一定是 $14cm$ ；

⑷弧长是 $20 π cm$ ，面积是 $240 π {cm}^{2}$ 的扇形的圆心角是 $120 °$ ．

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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二、填空题

11. 计算：
${(3.14 - π)}^{0} =$ ； $2 \cos 45 ° =$ ； $- 1^{2} =$ ．

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12. 若数据3，a ， 3，5，3的平均数是3，则这组数据众数是；a的值是；方差是．

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13. 如图，点O在直线 $A B$ 上， $∠ A O C = 53^{°} 17^{'} 28^{^{'}^{'}}$ ，则 $∠ B O C$ 的度数是．

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14. 如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……，按这样的方法拼成的第 $(n + 1)$ 个正方形比第n个正方形多个小正方形．

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15. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了个人．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = B C$ ，点P在斜边 $A B$ 上，以 $P C$ 为直角边作等腰直角三角形 $P C Q$ ， $∠ P C Q = 90 °$ ，则 $P A^{2} ， P B^{2} ， P C^{2}$ 三者之间的数量关系是．

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17. 如图①，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 120 °$ ，点E是边 $A B$ 的中点，点P是边 $B C$ 上一动点，设 $P C = x ， P A + P E = y$ ．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么 $a + b$ 的值为．

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三、解答题

18. 解方程： $\frac{2}{x - 2} = \frac{3}{x}$ .

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19. 从A处看一栋楼顶部的仰角为 $α$ ，看这栋楼底部的俯角为 $β$ ，A处与楼的水平距离 $A D$ 为 $90m$ ，若 $\tan α = 0.27 ， \tan β = 2.73$ ，求这栋楼高．

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20. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n ，规定 $m ※ n = m^{2} n - m n - 3 n$ ，如： $1 ※ 2 = 1^{2} \times 2 - 1 \times 2 - 3 \times 2 = - 6$ ．

(1)、求 $(- 2) ※ \sqrt{3}$ ；

(2)、若 $3 ※ m \geq - 6$ ，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．

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21. 甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：

(1)、取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；

(2)、取出的3个小球上全是奇数的概率．

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22. 如图， $⊙ O$ 的直径 $A B$ 交弦(不是直径) $C D$ 于点P ，且 $P C^{2} = P B \cdot P A$ ．求证： $A B ⊥ C D$ ．

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23. 某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)、在这次调查中，共调查了多少名学生；

(2)、补全条形统计图；

(3)、若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．

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24. 某服装专卖店计划购进 $A ， B$ 两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．

(1)、求 $A ， B$ 型服装的单价；

(2)、专卖店要购进 $A ， B$ 两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？

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25. 中心为O的正六边形 $A B C D E F$ 的半径为 $6cm$ ．点 $P ， Q$ 同时分别从 $A ， D$ 两点出发，以 $1cm/s$ 的速度沿 $A F ， D C$ 向终点 $F ， C$ 运动，连接 $P B ， P E ， Q B ， Q E$ ，设运动时间为 $t (s)$ ．

(1)、求证：四边形 $P B Q E$ 为平行四边形；

(2)、求矩形 $P B Q E$ 的面积与正六边形 $A B C D E F$ 的面积之比．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $A ， B$ ，与y轴交于点C ，且直线 $y = x - 6$ 过点B ，与y轴交于点D ，点C与点D关于x轴对称．点P是线段 $O B$ 上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M ，交直线 $B D$ 于点N ．

(1)、求抛物线的函数解析式；

(2)、当 $△ M D B$ 的面积最大时，求点P的坐标；

(3)、在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q ，使得以 $Q ， M ， N$ 三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

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