内蒙古包头市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-12 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $\sqrt{8} + \sqrt{2}$ 的计算结果是（）

A、5 B、 $\sqrt{10}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 + \sqrt{2}$

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2. 2020年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至2019年末，全国农村贫困人口减少至551万人，累计减少9348万人．将9348万用科学记数法表示为（）

A、 $0.9348 \times 10^{8}$ B、 $9.348 \times 10^{7}$ C、 $9.348 \times 10^{8}$ D、 $93.48 \times 10^{6}$

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3. 点A在数轴上，点A所对应的数用 $2 a + 1$ 表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（）

A、 $- 2$ 或1 B、 $- 2$ 或2 C、 $- 2$ D、1

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4. 下列计算结果正确的是（）

A、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ B、 ${(- b c)}^{4} \div {(- b c)}^{2} = - b^{2} c^{2}$ C、 $1 + \frac{1}{a} = \frac{2}{a}$ D、 $a \div b \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b^{2}}$

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5. 如图， $∠ A C D$ 是 $△ A B C$ 的外角， $C E / / A B$ ．若 $∠ A C B = 75 °$ ， $∠ E C D = 50 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $55 °$ C、 $70 °$ D、 $75 °$

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6. 如图，将小立方块①从6个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何体（）

A、主视图改变，左视图改变 B、俯视图不变，左视图改变 C、俯视图改变，左视图改变 D、主视图不变，左视图不变

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7. 两组数据：3，a ， b ， 5与a ， 4， $2 b$ 的平均数都是3．若将这两组数据合并为一组新数据，则这组新数据的众数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，D是 $A B$ 的中点， $B E ⊥ C D$ ，交 $C D$ 的延长线于点E ．若 $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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9. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是弦，点 $C ， D$ 在直径 $A B$ 的两侧．若 $∠ A O C ： ∠ A O D ： ∠ D O B = 2 ： 7 ： 11$ ， $C D = 4$ ，则 $\overset{⌢}{C D}$ 的长为（）

A、 $2 π$ B、 $4 π$ C、 $\frac{\sqrt{2} π}{2}$ D、 $\sqrt{2} π$

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10. 下列命题正确的是（）

A、若分式 $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ 的值为0，则x的值为±2． B、一个正数的算术平方根一定比这个数小． C、若 $b > a > 0$ ，则 $\frac{a}{b} > \frac{a + 1}{b + 1}$ ． D、若 $c \geq 2$ ，则一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 3 = c$ 有实数根．

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11. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{3}{2} x + 3$ 与x轴、y轴分别交于点A和点 $B ， C$ 是线段 $A B$ 上一点，过点C作 $C D ⊥ x$ 轴，垂足为D ， $C E ⊥ y$ 轴，垂足为E ， $S_{△ B E C} ： S_{△ C D A} = 4 ： 1$ ．若双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 经过点C ，则k的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C > A C$ ，按以下步骤作图：（1）分别以点 $A ， B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $M ， N$ 两点（点M在 $A B$ 的上方）；（2）作直线 $M N$ 交 $A B$ 于点O ，交 $B C$ 于点D；（3）用圆规在射线 $O M$ 上截取 $O E = O D$ ．连接 $A D ， A E ， B E$ ，过点O作 $O F ⊥ A C$ ，垂足为F ，交 $A D$ 于点G ．下列结论：
① $C D = 2 G F$ ；② $B D^{2} - C D^{2} = A C^{2}$ ；③ $S_{△ B O E} = 2 S_{△ A O G}$ ；④若 $A C = 6 ， O F + O A = 9$ ，则四边形 $A D B E$ 的周长为25．

其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 在函数 $y = \frac{x}{x - 3}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是．

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14. 分式方程 $\frac{3 - x}{x - 2} + \frac{x}{2 - x} = 1$ 的解是．

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15. 计算： $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} =$ ．

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16. 如图，在正方形 ABCD ，E是对角线 BD 上一点， AE 的延长线交 CD 于点F ，连接 CE ．若∠BAE=56° ，则 ∠CEF= ° ．

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17. 一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为．

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18. 如图，在平行四边形 $▱ A B C D$ 中， $A B = 2 ， ∠ A B C$ 的平分线与 $∠ B C D$ 的平分线交于点E ，若点E恰好在边 $A D$ 上，则 $B E^{2} + C E^{2}$ 的值为．

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19. 在平面直角坐标系中，已知 $A (- 1 ， m)$ 和 $B (5 ， m)$ 是抛物线 $y = x^{2} + b x + 1$ 上的两点，将抛物线 $y = x^{2} + b x + 1$ 的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为．

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20. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $B D$ 是对角线， $A E ⊥ B D$ ，垂足为E ，连接 $C E$ ．若 $∠ A D B = 30 °$ ，则如 $\tan ∠ D E C$ 的值为．

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三、解答题

21. 我国 $5G$ 技术发展迅速，全球领先．某公司最新推出一款 $5G$ 产品，为了解用户对该产品的满意度，随机调查了30个用户，得到用户对该产品的满意度评分如下（单位：分）：
83 92 68 55 77 71 73 62 73 95 92 94 72 64 59

66 71 75 69 86 87 79 81 77 68 82 62 77 61 88

整理上面的数据得到尚不完整的频数直方图（如图）．请根据所给信息，解答下列问题：

(1)、补全频数直方图；

(2)、参与调查的一个用户说：“我的满意度评分在这30个用户中是中位数”，该用户的满意度评分是分；

(3)、根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分

低于60分

60分到89分

不低于90分

满意度等级

不满意

满意

非常满意

估计使用该公司这款 $5G$ 产品的1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的人数．

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22. 如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他的北偏东 $45 °$ 方向有一电视塔P ，他由A地向正北方向骑行了 $3 \sqrt{2} km$ 到达B地，发现电视塔P在他北偏东 $75 °$ 方向，然后他由B地向北偏东 $15 °$ 方向骑行了 $6km$ 到达C地．

(1)、求A地与电视塔P的距离；

(2)、求C地与电视塔P的距离．

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23. 某商店销售 $A ， B$ 两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．

(1)、求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？

(2)、该商店计划购进 $A ， B$ 两种商品共60件，且 $A ， B$ 两种商品的进价总额不超过7800元，已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，半径 $O C ⊥ A B$ ，垂足为O ，直线l为 $⊙ O$ 的切线，A是切点，D是 $O A$ 上一点， $C D$ 的延长线交直线l于点 $E ， F$ 是 $O B$ 上一点， $C F$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点G ，连接 $A C ， A G$ ，已知 $⊙ O$ 的半径为3， $C E = \sqrt{34}$ ， $5 B F - 5 A D = 4$ ．

(1)、求 $A E$ 的长；

(2)、求 $c o s ∠ C A G$ 的值及 $C G$ 的长．

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25. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 4 ， B C = 2$ ， $R t △ A B C$ 绕点C按顺时针方向旋转得到 $R t △ A^{'} B^{'} C$ ， $A^{'} C$ 与 $A B$ 交于点D ．

(1)、如图，当 $A^{'} B^{'} / / A C$ 时，过点B作 $B E ⊥ A^{'} C$ ，垂足为E ，连接 $A E$ ．

①求证： $A D = B D$ ；

②求 $\frac{S_{△ A C E}}{S_{△ A B E}}$ 的值；

(2)、如图，当 $A^{'} C ⊥ A B$ 时，过点D作 $D M / / A^{'} B^{'}$ ，交 $B^{'} C$ 于点N ，交 $A C$ 的延长线于点M ，求 $\frac{D N}{N M}$ 的值．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} - 2 x$ 经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A ，该抛物线的顶点为M ，直线 $y = - \frac{1}{2} x + b$ 经过点A ，与y轴交于点B ，连接 $O M$ ．

(1)、求b的值及点M的坐标；

(2)、将直线 $A B$ 向下平移，得到过点M的直线 $y = m x + n$ ，且与x轴负半轴交于点C ，取点 $D (2 ， 0)$ ，连接 $D M$ ，求证： $∠ A D M - ∠ A C M = 45 °$ ：

(3)、点E是线段 $A B$ 上一动点，点F是线段 $O A$ 上一动点，连接 $E F$ ，线段 $E F$ 的延长线与线段 $O M$ 交于点G ．当 $∠ B E F = 2 ∠ B A O$ 时，是否存在点E ，使得 $3 G F = 4 E F$ ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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满意度评分	低于60分	60分到89分	不低于90分
满意度等级	不满意	满意	非常满意