湖南省邵阳市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-12 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 2020的倒数是（）

A、 $- 2020$ B、 $2020$ C、 $\frac{1}{2020}$ D、 $- \frac{1}{2020}$

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2. 下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2020年6月23日，中国第55颗北斗号航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权的北斗导航系统全面建成．据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达3450亿元，较2018年增长14.4%．其中，3450亿元用科学记数法表示为（）

A、 $3.45 \times 10^{10}$ 元 B、 $3.45 \times 10^{9}$ 元 C、 $3.45 \times 10^{8}$ 元 D、 $3.45 \times 10^{11}$ 元

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4. 设方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的两根分别是 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 的值为（）

A、3 B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- 2$

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5. 已知正比例函数 $y = k x (k \neq 0)$ 的图象过点 $(2 ， 3)$ ，把正比例函数 $y = k x (k \neq 0)$ 的图象平移，使它过点 $(1 ， - 1)$ ，则平移后的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $5 \sqrt{3} + \sqrt{18} = 8 \sqrt{3}$ B、 ${(- 2 a^{2} b)}^{3} = - 6 a^{2} b^{3}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 $\frac{a^{2} - 4}{a + b} \cdot \frac{a + b}{a + 2} = a - 2$

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，点E ， B ， D ， F在同一条直线上，请添加一个条件使得 $△ A B E ≌ △ C D F$ ，下列错误的是（）

A、 $A E = C F$ B、 $∠ A E B = ∠ C F D$ C、 $∠ E A B = ∠ F C D$ D、 $B E = D F$

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8. 已知 $a + b > 0 ， a b > 0$ ，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（）

A、 $(a ， b)$ B、 $(- a ， b)$ C、 $(- a ， - b)$ D、 $(a ， - b)$

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9. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为 $5m$ ，宽为 $4m$ 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（）

A、 ${6m}^{2}$ B、 ${7m}^{2}$ C、 ${8m}^{2}$ D、 ${9m}^{2}$

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10. 将一张矩形纸片 $A B C D$ 按如图所示操作：（1）将 $D A$ 沿 $D P$ 向内折叠，使点A落在点 $A_{1}$ 处，（2）将 $D P$ 沿 $D A_{1}$ 向内继续折叠，使点P落在点 $P_{1}$ 处，折痕与边 $A B$ 交于点M ．
若 $P_{1} M ⊥ A B$ ，则 $∠ D P_{1} M$ 的大小是（）

A、135° B、120° C、112.5° D、115°

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二、填空题

11. 如图，已知点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，过点A作 $A B ⊥ y$ 轴于点B ， $△ O A B$ 的面积是2．则k的值是．

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12. 据统计：2019年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生91.3万人次，全市没有一名学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：
甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；

乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．

从接受“送教上门”的时间波动大小来看，学生每周接受送教的时间更稳定．（填“甲”或“乙”）

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13. 如图，线段 $A B = 10 cm$ ，用尺规作图法按如下步骤作图．

①过点B作 $A B$ 的垂线，并在垂线上取 $B C = \frac{1}{2} A B$ ；

②连接 $A C$ ，以点C为圆心， $C B$ 为半径画弧，交 $A C$ 于点E；

③以点A为圆心， $A E$ 为半径画弧，交 $A B$ 于点D ．即点D为线段 $A B$ 的黄金分割点．

则线段 $A D$ 的长度约为 $cm$ （结果保留两位小数，参考数据： $\sqrt{2} = 1.414 ， \sqrt{3} = 1.732 ， \sqrt{5} = 2.236$ ）

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14. 在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为．

$3 \sqrt{2}$

2

$\sqrt{3}$

1

6

3

$\sqrt{2}$

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15. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为．

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16. 如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为 $10 π$ 的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长 $A B$ 为．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，斜边 $A B = \sqrt{2}$ ，过点C作 $C F // A B$ ，以 $A B$ 为边作菱形 $A B E F$ ，若 $∠ F = 30 °$ ，则 $R t △ A B C$ 的面积为．

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三、解答题

18. 计算： ${(- 1)}^{2020} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + | - 1 + \sqrt{3} | - 2 \sin 60^{°}$ ．

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19. 已知： $| m - 1 | + \sqrt{n + 2} = 0$ ，

(1)、求m ， n的值；

(2)、先化简，再求值： $m (m - 3 n) + {(m + 2 n)}^{2} - 4 n^{2}$ ．

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20. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D是 $B C$ 上一点，以 $B D$ 为直径的 $⊙ O$ 过点A ，连接 $A D$ ， $∠ C A D = ∠ C$ ．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A C = 4$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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21. 2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示， $A B ， B C$ 表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A ， B ， C所处位置的海拔 $A A_{1} ， B B_{1} ， C C_{1}$ 分别为 $62 m$ ， $100m$ ， $200m$ ．若管道 $A B$ 与水平线 $A A_{2}$ 的夹角为30°，管道 $B C$ 与水平线 $B B_{2}$ 夹角为45°，求管道 $A B$ 和 $B C$ 的总长度（结果保留根号）．

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22. “新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了了解和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：

XX学校“停课不停学”网络学习时间

调查表

亲爱的同学，你好！

为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学习时间的选项，在其后的空格内打“√”．

平均每天利用网络学习时间问卷调查表

选项	学习时间（小时）
A	$0 < t \leq 1$
B	$1 < t \leq 3$
C	$3 < t \leq 5$
D	$t > 5$

(1)、本次接受问卷调查的学生共有人；

(2)、请补全图①中的条形统计图；

(3)、图②中，D选项所对应的扇形圆心角为度；

(4)、若该校共有1500名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在C选项的有多少人？

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23. 2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．

(1)、求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？

(2)、小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？

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24. 已知：如图①，将一块45°角的直角三角板 $D E F$ 与正方形 $A B C D$ 的一角重合，连接 $A F ， C E$ ，点M是 $C E$ 的中点，连接 $D M$ ．

(1)、请你猜想 $A F$ 与 $D M$ 的数量关系是．

(2)、如图②，把正方形 $A B C D$ 绕着点D顺时针旋转 $α$ 角（ $0 ° < a < 90 °$ ）．
① $A F$ 与 $D M$ 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长 $D M$ 到点N ，使 $M N = D M$ ，连接 $C N$ ）

②求证： $A F ⊥ D M$ ；

③若旋转角 $α = 45 °$ ，且 $∠ E D M = 2 ∠ M D C$ ，求 $\frac{A D}{E D}$ 的值．（可不写过程，直接写出结果）

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25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的边 $B C$ 与x轴、y轴的交点分别为 $C (8 ， 0) ， B (0 ， 6) ， C D = 5$ ，抛物线 $y = a x^{2} - \frac{15}{4} x + c (a \neq 0)$ 过B ， C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿 $D \to A \to B \to C$ 的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿 $O C$ 方向运动，到达C点后，立即返回，向 $CO$ 方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段 $O C$ 上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为 $t$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求点D的坐标；

(3)、当点M ， N同时开始运动时，若以点M ， D ， C为顶点的三角形与以点B ， O ， N为顶点的三角形相似，求t的值；

(4)、过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q ，将线段 $B A$ 沿过点B的直线翻折，点A的对称点为 $A^{'}$ ，求 $A^{'} Q + Q N + D N$ 的最小值．

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$3 \sqrt{2}$	2	$\sqrt{3}$
1		6
	3	$\sqrt{2}$