湖南省娄底市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-12 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- 2020$ 的倒数是（）

A、 $- 2020$ B、2020 C、 $\frac{1}{2020}$ D、 $- \frac{1}{2020}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ C、 ${(- 2 a)}^{3} = - 8 a^{3}$ D、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$

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3. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果 $∠ 1 = 28 °$ ，那么 $∠ 2$ 的度数为（）

A、62° B、56° C、28° D、72°

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4. 一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（）

A、7、10 B、9、9 C、10、10 D、12、11

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5. 我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为（）

A、 $16.959 \times 10^{10}$ 元 B、 $1695.9 \times 10^{8}$ 元 C、 $1.6959 \times 10^{10}$ 元 D、 $1.6959 \times 10^{11}$ 元

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7. 正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂 $L_{1} = L \cdot \cos α$ ，阻力臂 $L_{2} = l \cdot \cos β$ ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）

A、越来越小 B、不变 C、越来越大 D、无法确定

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9. 如图，平行于y轴的直线分别交 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 与 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $k_{1} - k_{2}$ B、 $\frac{1}{2} (k_{1} - k_{2})$ C、 $k_{2} - k_{1}$ D、 $\frac{1}{2} (k_{2} - k_{1})$

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10. 下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）

1	4
2	9

2	6
3	20

3	8
4	35

……

a	18
b	x

A、135 B、153 C、170 D、189

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11. 函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（）

A、 $y = x^{2} + x + 2$ B、 $y = \sqrt{x} + 1$ C、 $y = x + \frac{1}{x}$ D、 $y = | x | - 1$

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12. 二次函数y=（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）的图象与x轴交点的横坐标为m，n，且m＜n，则a，b，m，n的大小关系是（）

A、a＜m＜n＜b B、a＜m＜b＜n C、m＜a＜b＜n D、m＜a＜n＜b

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二、填空题

13. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $c =$ ．

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14. 口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是．

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15. 若 $\frac{b}{a} = \frac{d}{c} = \frac{1}{2} (a \neq c)$ ，则 $\frac{b - d}{a - c} =$ ．

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16. 如图，公路弯道标志 $R = m$ 表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有 $R = 300$ 处的弯道上从点A行驶了 $100 π$ 米到达点B，则线段 $A B =$ 米．

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17. 如图，四边形 $A B D C$ 中， $A B = A C = 3 ， B D = C D = 2$ ，则将它以 $A D$ 为轴旋转180°后所得分别以 $A B$ 、 $B D$ 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为．

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18. 由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积 $c^{2}$ 等于小正方形的面积 ${(a - b)}^{2}$ 与4个直角三角形的面积 $2 a b$ 的和证明了勾股定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，还可以用来证明结论：若 $a > 0$ 、 $b > 0$ 且 $a^{2} + b^{2}$ 为定值，则当 $a$ $b$ 时， $a b$ 取得最大值．

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三、解答题

19. 计算： $| \sqrt{3} - 1 | - 3 \tan 30 ° + {(3.14 - π)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$

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20. 先化简 $(\frac{m}{m + 3} - \frac{2 m}{m - 3}) \div \frac{m}{m^{2} - 9}$ ，然后从 $- 3$ ，0，1，3中选一个合适的数代入求值．

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21. 我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间 $t (h)$ ：A． $0 \leq t \leq 0.5$ ，B． $0.5 < t \leq 1$ ，C． $1 < t \leq 1.5$ ，D． $t > 1.5$ ，
将所得数据绘制成了如下不完整的统计图：

(1)、本次调查参加义务劳动的学生共人， $a =$ ．

(2)、补全条形统计图．

(3)、扇形图中“ $0 \leq t \leq 0.5$ ”部分的圆心角是度．

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22. 如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面 $5m$ ，从E点处测得D点俯角为30°，斜面 $E D$ 长为 $4m$ ，水平面 $D C$ 长为 $2m$ ，斜面 $B C$ 的坡度为1∶4，求处于同一水平面上引桥底部 $A B$ 的长．（结果精确到 $0 .1m$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ ）．

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23. 为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元瓶，84消毒液的价格是15元瓶．
求：

(1)、该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？

(2)、若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？

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24. 如图， $▱ A B C D$ 中， $B C = 2 A B$ ， $A B ⊥ A C$ ，分别在边 $B C$ 、 $A D$ 上的点E与点F关于 $A C$ 对称，连接 $E F$ 、 $A E$ 、 $C F$ 、 $D E$ ．

(1)、试判定四边形 $A E C F$ 的形状，并说明理由；

(2)、求证： $A E ⊥ D E$

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25. 如图，点C在以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $⊙ O$ 于点D，过D作 $B C$ 的垂线，垂足为E．

(1)、求证： $D E$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、若 $A B = 5 ， B E = 4$ ，求 $B D$ 的长；

(3)、请用线段 $A B$ 、 $B E$ 表示 $C E$ 的长，并说明理由．

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26. 如图，抛物线经过点 $A (- 3 ， 0)$ 、 $B (1 ， 0)$ 、 $C (0 ， 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P (m ， n)$ 是抛物线上的动点，当 $- 3 < m < 0$ 时，试确定m的值，使得 $△ P A C$ 的面积最大；

(3)、抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足 $D A^{2} - D C^{2} = 6$ ，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

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