广东省2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-12 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 9的相反数是（）

A、 $9$ B、 $- 9$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $- \frac{1}{9}$

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2. 一组数据2，4，3，5，2的中位数是（）

A、5 B、35 C、3 D、25

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3. 在平面直角坐标系中，点 $(3 ， 2)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为（）

A、 $(- 3 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(2 ， - 3)$ D、 $(3 ， - 2)$

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4. 若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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5. 若式子 $\sqrt{2 x - 4}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $x \leq 2$ D、 $x \neq - 2$

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6. 已知 $Δ A B C$ 的周长为16，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $Δ A B C$ 三条边的中点，则 $Δ D E F$ 的周长为（）

A、8 B、 $2 \sqrt{2}$ C、16 D、4

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7. 把函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）

A、 $y = x^{2} + 2$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} + 1$ C、 $y = {(x - 2)}^{2} + 2$ D、 $y = {(x - 1)}^{2} - 3$

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8. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 - 3 x \geq - 1 \\ x - 1 \geq - 2 (x + 2) \end{array}$ 的解集为（）

A、无解 B、 $x \leq 1$ C、 $x \geq - 1$ D、 $- 1 \leq x \leq 1$

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9. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $C D$ 上， $∠ E F D = 60 °$ ．若将四边形 $E B C F$ 沿 $E F$ 折叠，点 $B$ 恰好落在 $A D$ 边上，则 $B E$ 的长度为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴是 $x = 1$ ．下列结论：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $8 a + c < 0$ ；④ $5 a + b + 2 c > 0$ ，正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

11. 分解因式：xy―x＝．

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12. 若 $3 x^{m} y$ 与 $- 5 x^{2} y^{n}$ 是同类项，则 $m + n =$ ．

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13. 若 $\sqrt{a - 2} + | b + 1 | = 0$ ，则 ${(a + b)}^{2020} =$ ．

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14. 已知 $x = 5 - y$ ， $x y = 2$ ，计算 $3 x + 3 y - 4 x y$ 的值为．

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15. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 30 °$ ，取大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交 $A D$ 边于点 $E$ （作图痕迹如图所示），连接 $B E$ ， $B D$ ，则 $∠ E B D$ 的度数为．

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16. 如图，从一块半径为 $1m$ 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形 $A B C$ ，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 $m$ ．

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17. 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在射线 $B A$ ， $B C$ 上， $M N$ 长度始终保持不变， $M N = 4$ ， $E$ 为 $M N$ 的中点，点 $D$ 到 $B A$ ， $B C$ 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 $D E$ 的最小值为．

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三、解答题（一）

18. 先化简，再求值： ${(x + y)}^{2} + (x + y) (x - y) - 2 x^{2}$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ ， $y = \sqrt{3}$ ．

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19. 某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级．随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：

等级

非常了解

比较了解

基本了解

不太了解

人数（人）

24

72

18

$x$

(1)、求 $x$ 的值；

(2)、若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？

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20. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 边上的点， $B D = C E$ ， $∠ A B E = ∠ A C D$ ， $B E$ 与 $C D$ 相交于点 $F$ ，求证： $Δ A B C$ 是等腰三角形．

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四、解答题（二）

21. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} a x + 2 \sqrt{3} y = - 10 \sqrt{3} \\ x + y = 4 \end{array}$ 与 ${\begin{array}{l} x - y = 2 \\ x + b y = 15 \end{array}$ 的解相同．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若一个三角形的一条边的长为 $2 \sqrt{6}$ ，另外两条边的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．

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22. 如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $CO$ 平分 $∠ B C D$ ．

(1)、求证：直线 $C D$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、如图2，记（1）中的切点为 $E$ ， $P$ 为优弧 $\overset{⌢}{A E}$ 上一点， $A D = 1$ ， $B C = 2$ .求 $\tan ∠ A P E$ 的值．

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23. 某社区拟建 $A$ ， $B$ 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个 $A$ 类摊位的占地面积比每个 $B$ 类摊位的占地面积多2平方米，建 $A$ 类摊位每平方米的费用为40元，建 $B$ 类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建 $A$ 类摊位的个数恰好是用同样面积建 $B$ 类摊位个数的 $\frac{3}{5}$ ．

(1)、求每个 $A$ ， $B$ 类摊位占地面积各为多少平方米？

(2)、该社拟建 $A$ ， $B$ 两类摊位共90个，且 $B$ 类摊位的数量不少于 $A$ 类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用．

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五、解答题（三）

24. 如图，点 $B$ 是反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ （ $x > 0$ ）图象上一点，过点 $B$ 分别向坐标轴作垂线，垂足为 $A$ ， $C$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象经过 $O B$ 的中点 $M$ ，与 $A B$ ， $B C$ 分别相交于点 $D$ ， $E$ ．连接 $D E$ 并延长交 $x$ 轴于点 $F$ ，点 $G$ 与点 $O$ 关于点 $C$ 对称，连接 $B F$ ， $B G$ ．

(1)、填空： $k =$ ；

(2)、求 $Δ B D F$ 的面积；

(3)、求证：四边形 $B D F G$ 为平行四边形．

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25. 如图，抛物线 $y = \frac{3 + \sqrt{3}}{6} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ ， $B$ 分别位于原点的左、右两侧， $B O = 3 A O = 3$ ，过点 $B$ 的直线与 $y$ 轴正半轴和抛物线的交点分别为 $C$ ， $D$ ， $B C = \sqrt{3} C D$ ．

(1)、求 $b$ ， $c$ 的值；

(2)、求直线 $B D$ 的函数解析式；

(3)、点 $P$ 在抛物线的对称轴上且在 $x$ 轴下方，点 $Q$ 在射线 $B A$ 上，当 $Δ A B D$ 与 $Δ B P Q$ 相似时，请直接写出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标．

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等级	非常了解	比较了解	基本了解	不太了解
人数（人）	24	72	18	$x$