初中数学青岛版九年级上学期第1章 1.3相似三角形的性质

试卷更新日期：2020-08-12 类型：同步测试

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一、单选题

1. 两个相似三角形对应高之比为 $1 : 2$ ，那么它们的对应中线之比为（）

A、 $1 : 2$ B、 $1 : 3$ C、 $1 : 4$ D、 $1 : 8$

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2. 如图，三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC上的一点，且DE平行于BC，S_△_ADE＝S_四边形_DECB ，则△ABC与△ADE相似比的值为（）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比.如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（）

A、18米 B、16米 C、20米 D、15米

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4. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S_△_BDE：S_△_CDE＝1：3，则S_△_DOE：S_△_AOC的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{16}$

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5. 如右图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF：EH=2：3，那么EH的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{12}{13}$ D、2

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6. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动.当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（）

A、 $\frac{24}{11}$ s B、 $\frac{9}{5}$ s C、 $\frac{24}{11}$ s或 $\frac{9}{5}$ s D、以上均不对

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7. 如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，∠AEG=∠C，∠BAC的平分线AD交EG于点F，若 $\frac{A F}{D F} = \frac{3}{2}$ ，则（）

A、 $\frac{A E}{B E} = \frac{3}{5}$ B、 $\frac{E F}{F G} = \frac{2}{3}$ C、 $\frac{E F}{C D} = \frac{3}{5}$ D、 $\frac{E G}{B C} = \frac{2}{3}$

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8. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长于点Q，下列结论正确的有（）个．

①AE⊥BF； ②QB＝QF； ③ $\frac{A G}{F G} = \frac{4}{3}$ ； ④S_ECPG＝3S_△_BGE

A、1 B、4 C、3 D、2

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9. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $A B$ 上，点 $E$ 在 $A C$ 上，且 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 相似， $A D = E C$ ， $B D = 10$ ， $A E = 4$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、12 C、 $2 \sqrt{10} + 10$ D、 $12$ 或 $2 \sqrt{10} + 10$

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10. 如图，P是 $▱$ ABCD内一点，连结P与 $▱$ ABCD各顶点， $▱$ EFGH各顶点分别在边AP、BP、CP、DP上，且AE=2EP，EF∥AB．若△PEF与△PGH的面积和为1，则 $▱$ ABCD的面积为（）

A、4 B、6 C、12 D、18

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二、填空题

11. 两个相似三角形的相似比为1：3，则它们周长的比为．

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12. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，D是AB边上的一点.若△ABC∽△ACD，则AD的长为.

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13. 如图，△ABC 两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么 $\frac{F G}{D G}$ =.

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14. 如图，在 $Δ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为D， $B D = 2 C D$ .若 $E$ 是 $A D$ 的中点，则 $E C =$ .

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15. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是.

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16. 如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，若EF＝2，CD＝3，则AB的长为.

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17. 如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点F，交BC边于点E，已知AB＝6，AD＝8，则CE的长为.

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18. 如图，在□ $A B C D$ 中， $A C$ 是一条对角线， $E F ∥ B C$ ，且 $E F$ 与 $A B$ 相交于点 $E$ ，与 $A C$ 相交于点 $F$ ， $3 A E = 2 E B$ ，连接 $D F$ ．若 $S_{△ A E F} = 1$ ，则 $S_{△ A D F}$ 的值为．

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三、作图题

19. 如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上。

(1)、请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子。(用线段表示)

(2)、如果小明的身高AB=1.6m，他的影子长AC=1.4m，且他到路灯的距离AD=2.1m，求灯泡的高。

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四、解答题

20. 在古代的《九章算术》中有一道题：今有勾五步，股 $12$ 步，问勾中容方几何？意思是：如图，在 $Rt △ A B C$ 中，短直角边 $B C = 5$ 步，长直角边 $A B = 12$ 步，正方形有两边在两直角边上，一个顶点在斜边上．这个正方形 $B D E F$ 的边长为多少？

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21. 如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度.

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22. 如图，某中学两座教学楼中间有个路灯，甲、乙两个人分别在楼上观察路灯顶端，视线所及如图①所示。根据实际情况画出平面图形如图②，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，甲从点C可以看到点G处，乙从点E恰巧可以看到点D处，点B是DF的中点，路灯AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离的差。

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23. 如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF∶GF=1∶2，求矩形DEFG的周长．

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24. 问题探究：三角形的角平分线是初中几何中一条非常重要的线段，它除了具有平分角、角平分线上的点到角两边的距离相等这些性质外，还具有以下的性质：
如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，则 $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ 。

提示：过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E。

请根据上面的提示，写出得到“ $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ “这一结论完整的证明过程。

结论应用：如图②2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=15，AD平分∠BAC交BC于点D。请直接利用“问题探究”的结论，求线段CD的长。

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25. 已知：如图，在正方形ABCD中，Q是CD的中点， $PQ ⊥ AQ .$ 求证： $BP = 3 CP$ .

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26. 净觉寺享有“家东第一寺”的美誉，是一座规模较大，布局严颜，结构合理，独具一格的古建筑群体，被国务院批准列入第六批全国重点文物保护单位名单，某校社会实践小组为了测量寺内一古塔的高度，在地面上 $C$ 处垂直于地面竖立了高度为 $2$ 米的标杆 $C D$ ，这时地面上的点 $E$ ，标杆的顶端点 $D$ ，古塔的塔尖点 $B$ 正好在同一直线上，测得 $E C = 4$ 米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点 $F$ ，标杆的顶端点 $H$ ，古塔的塔尖点 $B$ 正好在同一直线上（点 $F$ ，点 $G$ ，点 $E$ ，点 $C$ 与古塔底处的点 $A$ 在同一直线上）这时测得 $F G = 6$ 米， $G C = 20$ 米，请你根据以上数据，计算古塔的高度 $A B$ .

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二、填空题

三、作图题

四、解答题

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