江苏省百校联考2019-2020学年高一上学期数学第三次考试试卷

试卷更新日期：2020-08-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. $\cos 1830^{\circ}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 下列表示正确的是（）

A、 $\emptyset \subseteq {0}$ B、 $a \subseteq {a}$ C、 ${a} \in {a, b}$ D、 ${0} = \emptyset$

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3. 若 $α = - 4$ ，则角 $α$ 的终边在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 下列各组函数中，与 $f (x) = | x |$ 表示同一函数的是（）

A、 $g (x) = x (x \geq 0)$ B、 $g (t) = {\begin{array}{l} t, t > 0, \\ - t, t \leq 0 \end{array}$ C、 $g (x) = \sqrt{\frac{x^{3}}{x}}$ D、 $g (x) = {\begin{array}{l} x, x \leq 0, \\ - x, x > 0 \end{array}$

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5. 设 $A \subseteq B$ ， $A \subseteq C$ ，其中 $B = {- 1, 0, 1}$ ， $C = {0, 1, 2}$ ，则满足题设的集合A的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知 $f (x) = 2 x$ ，则 $\frac{f (f (f (\dots f (2) \dots)))}{10 个 f}$ 的值为（）

A、 $2^{8}$ B、 $2^{9}$ C、 $2^{10}$ D、 $2^{11}$

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7. 若一扇形的圆心角为 $108^{°}$ ，半径为 $10 c m$ ，则扇形的面积为（）

A、 $30 π c m^{2}$ B、 $60 π c m^{2}$ C、 $5400 c m^{2}$ D、 $10800 c m^{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 1, x \leq - 3 \\ \lg (3 + x), - 3 < x \leq 0 \\ 10^{x} - 1, x > 0 \end{matrix}$ ，若 $f (a - 1) = 2$ ，则实数 $a =$ （）

A、1 B、 $\lg 3$ C、 $\lg 30$ D、 $\lg 300$

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9. 先将函数 $y = \sin x$ 图象上每一点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，则所得图象对应的函数为（）

A、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $y = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6})$ D、 $y = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{12})$

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10. 已知函数 $F (x) = f (x) + f (- x)$ ，对于任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，都有 $\frac{F (x_{1}) - F (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ $(x_{1} \neq x_{2})$ ，设 $a = F (- \log_{5} 5)$ ， $b = F (\frac{1}{\lg 3})$ ， $c = F (- 2^{- 2})$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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11. 对于函数 $f (x) = k \cdot a^{x}$ （ $k \in R$ ， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），下列说法：①当 $k > 0$ 且 $a > 1$ 时，函数 $f (x)$ 为 $R$ 上单调增函数；②函数 $f (x)$ 满足 $f (x) f (y) = k \cdot f (x + y)$ ；③函数 $f (x)$ 可能具有奇偶性；④当 $k > 0$ 时，对于任意的 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，总有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} \geq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ；其中正确的是（）

A、①② B、②③ C、①②③④ D、③④

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中设点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，定义： $d (A, B) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ .已知点 $O (0, 0)$ ， $P (a, a^{- 1})$ ， $R (a^{\frac{1}{2}}, a^{\frac{3}{2}})$ ， $S (a^{- \frac{1}{2}}, a^{- \frac{3}{2}})$ $(a > 0)$ ，且 $d (O, P) = 3$ ，则 $d (R, S) =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

13. $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - \log_{2} x}}$ 的定义域是．

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14. 已知 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α} = 3$ ，则 $\tan α$ 的值为.

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15. 已知 $\log_{6} 2 = a$ ， $6^{b} = 12$ ，则 $a^{2} + b (1 - a)$ 的值为.

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16. 已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3} + 3^{x - 1} - 3^{- x + 1} + 2$ ，实数 $a, b$ 满足 $f (a) + f (b) = 4$ ，则 $a + {(b - 1)}^{2}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 4 a, 3 a) (a \neq 0)$ .

(1)、求 $\cos α$ 的值；

(2)、设 $a > 0$ ，角 $β$ 的终边与角 $α$ 的终边关于 $y = x$ 对称，求 $\cos β$ 的值.

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18. 已知集合 $A = {x | x^{2} - (a + 1) x + a \leq 0, a \in R}$ ，集合 $B = {x | 2 \sin \frac{π x}{3} \geq \sqrt{3}}$ .

(1)、若 $A \cup B = [1, 6]$ ，求a的值；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求a的取值范围.

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19. 已知函数 $y = f (x)$ 是R上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x | x - 2 |$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在R上的表达式；

(2)、画出函数 $y = f (x)$ 的图象，并写出单调减区间；

(3)、若 $f (a + 1) < f (1)$ ，求实数a的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \cos (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值以及相应的x的值；

(3)、若 $f (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\cos (\frac{5 π}{6} - ω x) + \cos^{2} (\frac{π}{3} - ω x)$ 的值.

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21. 某超市花费3万元购进一批同规格的月饼，进价为 $a$ 元/盒.上架销售前发现有10盒包装损坏而不能出售，若能将余下的月饼按高出进价50元/盒全部售出，则可最终获利8000元.

(1)、超市共购进该规格的月饼多少盒？

(2)、现进行促销活动若顾客一次性购买总价不低于600元的月饼，可在总价的基础上优惠 $b$ 元但不得低于促销前总价的9折，求b的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = a \cdot 2^{x} + 2^{- x}$ ，其中a为实数.

(1)、试确定函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, + \infty)$ 上单调递增，求a的取值范围；

(3)、若函数 $y = f (\log_{2} \sin x) - 1$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 上有唯一的零点，求a的取值范围.

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