河南省周口市项城三高2019-2020学年高一上学期数学第三次考试试卷

试卷更新日期：2020-08-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设全集 $U = {x \in N | x < 6}$ ，集合 $A = {l ， 3}$ ， $B = {3 ， 5}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap^{} (∁_{U} B) = ($ $)$

A、 ${2 ， 4}$ B、 ${2 ，$ 4， $6}$ C、 ${0 ，$ 2， $4}$ D、 ${0 ，$ 2，4， $6}$

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2. 下列命题中，错误的是（）

A、一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 B、平行于同一平面的两个不同平面平行 C、若直线l不平行平面 $α$ ，则在平面 $α$ 内不存在与l平行的直线 D、如果平面 $α$ 不垂直平面 $β$ ，那么平面 $α$ 内一定不存在直线垂直于平面 $β$

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3. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = e^{- x}$ C、 $y = \lg | x |$ D、 $y = - x^{2} + 1$

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4. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别是 $B B_{1}$ ， $B C$ 的中点，则图中阴影部分在平面 $A D D_{1} A_{1}$ 上的正投影是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知集合 $A = {y | y = 2^{x}, x \in R}$ , $B = {x | 4^{x - 1} \leq 8}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, \frac{5}{2})$ B、 $[0, \frac{5}{2}]$ C、 $(0, \frac{7}{2}]$ D、 $(0, \frac{5}{2}]$

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6. 函数 $f (x) = \frac{2}{x} + ln \frac{1}{x}$ 的零点所在的大致区间为 $($ $)$

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(1 ， 2)$ 与 $(2 ， 3)$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x - 1} - 2 ， x \leq 1 \\ - \log_{2} (x + 1) ， x > 1 \end{array}$ ，且 $f (a) = - 3$ ，则 $f (6 - a) =$ （）

A、 $- \frac{7}{4}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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8. 如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°．那么这个二面角大小是（）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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9. 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）

A、8π B、6π C、4π D、π

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10. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (x - \frac{1}{2}) + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点 $P (m, n)$ ，则函数 $g (x) = \log_{m} (x^{2} - 2 n x - 5)$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(5, + \infty)$

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11. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 $f (x) = \frac{e x}{1 - x^{2}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 用 $\min {a, b, c}$ 表示 $a ， b ， c$ 三个数中的最小值.设 $f (x) = \min {2^{x}, x + 2, 10 - x}, x ⩾ 0$ ，则 $f (x)$ 的最大值为（）.

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、填空题

13. 如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△AOB的面积是．

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14. 如果函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x - 3$ 在区间 $(- \infty, 2)$ 上是减函数，则实数a的取值范围是.

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15. 如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x - 4 a + 3, x < 2 \\ \log_{2} x, x \geq 2 \end{array}$ 的值域为R，则实数a的取值范围是.

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三、解答题

17. 如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为 $\sqrt{7}$ m，制造这个塔顶需要多少铁板？

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18. 函数 $f (x) = {log}_{a} (2 + x)$ ， $g (x) = {log}_{a} (2 - x) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ， $h (x) = f (x) - g (x)$ ．

(1)、求 $h (x)$ 的定义域，判断 $h (x)$ 奇偶性；

(2)、若 $f (1) = 1$ ，求使得 $h (x) > 0$ 成立的x的集合．

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19. 如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 3 ， B C = 4$ ， $A B = 5$ ， $A A_{1} = 4$ ，点D是 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $A C ⊥ B C_{1}$ ；

(2)、求证： $A C_{1} / /$ 平面 $C D B_{1}$ ；

(3)、求异面直线 $A C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值．

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20. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气的含药量y（毫克）与时间（小时）成正比.药物释放完毕后，y与t的函数关系式为 $y = {(\frac{1}{16})}^{t - a}$ （a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)、求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；

(2)、据测定，当空气中每立方米空气的含药量降到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到进教室？

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21. 如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．

(1)、求证：平面PAC⊥平面BDE；

(2)、若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{(x + 1) (x + a)}{x}$ 为奇函数.

(1)、求实数a的值；

(2)、记集合 $A = {y | y = f (x), x \in {- 1, 1, 2}}$ ， $t = \lg^{2} 2 + \lg 2 \cdot \lg 5 + \lg 5 + \frac{1}{2}$ ，判断t与集合A的关系；

(3)、当 $x \in [\frac{1}{m}, \frac{1}{n}] (m > 0, n > 0)$ 时，若函数 $f (x)$ 的值域为 $[3 - 3 m, 3 - 3 n]$ ，求 $m, n$ 的值.

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