广西桂林市2016-2017学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2017-09-23 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知 $\vec{a}$ =（λ+1，0，2λ）， $\vec{b}$ =（6，0，2）， $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则λ的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、5 C、 $- \frac{1}{5}$ D、﹣5

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2. 函数y=cos2x的导数是（）

A、﹣sin2x B、sin2x C、﹣2sin2x D、2sin2x

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3. 已知i是虚数单位，则 $\frac{3 - i}{2 + i}$ 对应的点在复平面的（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 观察下列等式，1³+2³=3² ， 1³+2³+3³=6² ， 1³+2³+3³+4³=10²根据上述规律，1³+2³+3³+4³+5³+6³=（）

A、19² B、20² C、21² D、22²

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5. 若随机变量X的分布列如下表，且EX=6.3，则表中a的值为（）
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 已知小王定点投篮命中的概率是 $\frac{1}{3}$ ，若他连续投篮3次，则恰有1次投中的概率是（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{4}{27}$ D、 $\frac{2}{27}$

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7. 用反证法证明“若x+y≤0则x≤0或y≤0”时，应假设（　　）

A、x＞0或y＞0 B、x＞0且y＞0 C、xy＞0 D、x+y＜0

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8. 已知变量X服从正态分布N（2，4），下列概率与P（X≤0）相等的是（）

A、P（X≥2） B、P（X≥4） C、P（0≤X≤4） D、1﹣P（X≥4）

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9. 由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）

A、 $\frac{32}{9}$ B、2﹣ln3 C、4+ln3 D、4﹣ln3

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10. 正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，BB₁与平面ACD₁所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11. 在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（）

A、20 B、21 C、22 D、24

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12. 已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（x+3）为偶函数，f（6）=1，则不等式f（x）＞e^x的解集为（）

A、（﹣∞，0） B、（0，+∞） C、（1，+∞） D、（4，+∞）

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二、填空题

13. 已知 $P (B | A) = \frac{1}{3} ， P (A) = \frac{2}{5}$ ，则P（AB）= ．

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14. $\int_{0}^{1}$ （e^x+x）dx= ．

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15. 若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积S= $\frac{1}{2}$ （a+b+c）r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S₁ ， S₂ ， S₃ ， S₄ ，则四面体的体积V= ．

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16. 若关于x的方程xlnx﹣kx+1=0在区间[ $\frac{1}{e}$ ，e]上有两个不等实根，则实数k的取值范围是．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、已知A $_{n}^{3}$ =6C $_{n}^{2}$ ，求n的值；

(2)、求二项式（1﹣2x）⁴的展开式中第4项的系数．

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18. 已知函数f（x）=x³+ax²+bx在x=﹣ $\frac{2}{3}$ 与x=1处都取得极值．

(1)、求a，b的值；

(2)、求曲线y=f（x）在x=2处的切线方程．

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19. 设数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=a_n²﹣na_n+1．

(1)、求a₂ ， a₃ ， a₄；

(2)、猜想a_n的一个通项公式，并用数学归纳法证明．

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20. 某企业招聘中，依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲参加招聘，已知他每次考A科合格的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，每次考B科合格的概率均为 $\frac{1}{2}$ ．假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．
（I）求甲恰好3次考试通过的概率；
（II）记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望．

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21. 如图所示，已知长方体ABCD中， $A B = 2 A D = 2 \sqrt{2} ， M$ 为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．

(1)、求证：平面ADM⊥平面ABCM；

(2)、是否存在满足 $\vec{B E} = t \vec{B D} (0 < t < 1)$ 的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为 $\frac{π}{4}$ ．若存在，求出相应的实数t；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx

(1)、当a=1时，求f（x）的单调区间；

(2)、若函数f（x）在（0， $\frac{1}{2}$ ）上无零点，求a最小值．

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X	4	a	9
P	0.5	0.1	b