湖北省荆州市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-10 类型：中考真卷

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一、选择题

1. 有理数 $- 2$ 的相反数是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、-2 D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 下列四个几何体中，俯视图与其他三个不同的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 在平面直角坐标系中，一次函数 $y = x + 1$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若 $∠ C A B = 30^{°}$ ，则 $∠ A C B$ 的度数是（）

A、 $45^{°}$ B、 $55^{°}$ C、 $65^{°}$ D、 $75^{°}$

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5. 八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍.设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）

A、 $\frac{10}{x}$ - $\frac{10}{2 x}$ =20 B、 $\frac{10}{2 x}$ - $\frac{10}{x}$ =20 C、 $\frac{10}{x}$ - $\frac{10}{2 x}$ = $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{10}{2 x} -$ $\frac{10}{x}$ = $\frac{1}{3}$

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6. 若x为实数，在 $(\sqrt{3} + 1) □ x$ 的“ $□$ ”中添上一种运算符号（在＋，－，×，÷中选择）后，其运算的结果是有理数，则x不可能的是（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $1 - \sqrt{3}$

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7. 如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：① $B E = C F$ ；② $C E ⊥ A B ， D F ⊥ B C$ ；③ $C E = D F$ ；④ $∠ B C E = ∠ C D F$ ，只选其中一个添加，不能确定 $Δ B C E ≅ Δ C D F$ 的是（）

A、① B、② C、③ D、④

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8. 如图，在平面直角坐标系中， $R t △ O A B$ 的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（）

A、 $(\sqrt{3} ， \sqrt{3})$ B、 $(\sqrt{3} ， 1)$ C、 $(2 ， 1)$ D、 $(2 ， \sqrt{3})$

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9. 定义新运算 $a * b$ ，对于任意实数a，b满足 $a * b = (a + b) (a - b) - 1$ ，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如 $4 * 3 = (4 + 3) (4 - 3) - 1 = 7 - 1 = 6$ ，若 $x * k = x$ （k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（）

A、有一个实根 B、有两个不相等的实数根 C、有两个相等的实数根 D、没有实数根

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10. 如图，在 $6 \times 6$ 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是 $△ A B C$ 的外接圆，则 $\cos ∠ B A C$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

11. 若 $a = {(π - 2020)}^{0}, b = - {(\frac{1}{2})}^{- 1}, c = | - 3 |$ ，则a，b，c的大小关系是.（用<号连接）

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12. 若单项式 $2 x^{m} y^{3}$ 与 $3 x y^{m + n}$ 是同类项，则 $\sqrt{2 m + n}$ 的值是.

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13. 已知： $△ A B C$ ，求作 $△ A B C$ 的外接圆，作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画弧，如图⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据是.

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14. 若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只（摘B先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是.

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15. “健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的 $R t Δ A B C$ ，其中 $∠ C = 90^{°}$ ，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB的正中位置，E地与C地相距1km，若 $\tan ∠ A B C = \frac{3}{4} ， ∠ D E B = 45^{°}$ ，小张某天沿 $A \to C \to E \to B \to D \to A$ 路线跑一圈，则他跑了km.

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16. 我们约定： $(a ， b ， c)$ 为函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为 $(m ， - m - 2 ， 2)$ 的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为.

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三、解答题

17. 先化简，再求值 $(1 - \frac{1}{a}) \div \frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2 a + 1}$ ：其中a是不等式组 ${\begin{array}{l} a - 2 \geq 2 - a ① \\ 2 a - 1 < a + 3 ② \end{array}$ 的最小整数解；

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18. 阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值.
问题：解方程 $x^{2} + 2 x + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x} - 5 = 0$ （提示：可以用换元法解方程），

解：设 $\sqrt{x^{2} + 2 x} = t (t \geq 0)$ ，则有 $x^{2} + 2 x = t^{2}$ ，

原方程可化为： $t^{2} + 4 t - 5 = 0$ ，

续解：

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19. 如图，将 $△ A B C$ 绕点B顺时针旋转60度得到 $Δ D B E$ ，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.

(1)、求证： $B C / / A D$ ；

(2)、若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和.

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20. 6月26日是“国际禁毒日”某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，85，90，85，90，85，100；八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90；
整理数据：

分析数据：

根据以上信息回答下列问题：

(1)、请直接写出表格中 $a ， b ， c ， d$ 的值

(2)、通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由；

(3)、该校七八年级共600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”估计这两个年级共多少名学生达到“优秀”？

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21. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象和性质后，进一步研究了函数 $y = \frac{2}{| x |}$ 的图像与性质，其探究过程如下：

(1)、绘制函数图象，如图1
①列表；下表是x与y的几组对应值，其中 m= ；

②描点：根据表中各组对应值(x，y)在平面直角坐标系中描出了各点；

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整；

(2)、通过观察图1，写出该函数的两条性质：①；②；

(3)、①观察发现：如图2，若直线y=2交函数 $y = \frac{2}{| x |}$ 的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于点C，则S_OABC=；
②探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则S_OABC=；

③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数 $y = \frac{k}{| x |} (k > 0)$ 的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于C，则 S_OABC= ；

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22. 如图矩形ABCD中，AB=20，点E是BC上一点，将 $△ A B E$ 沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上的点G处，点F在DG上，将 $△ A D F$ 沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时 $S_{△ G F H} ： S_{△ A F H} = 2 ： 3$ .

(1)、求证： $△ E G C \sim △ G F H$

(2)、求AD的长；

(3)、求 $\tan ∠ G F H$ 的值.

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23. 为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：（单位：吨）

A B

甲 20 25

乙 15 24

(1)、求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？

(2)、设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；

(3)、当每吨运费降低m元，（ $0 < m \leq 15$ 且m为整数），按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m的最小值.

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24. 如图1，在平面直角坐标系中， $A (- 2 ， - 1) ， B (3 ， - 1)$ ，以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO的延长线于C，连接AB，BC，过O作ED//BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD.

(1)、求证：BC是半圆O的切线；

(2)、试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；

(3)、如图2，若抛物线经过点D，且顶点为E，求此抛物线的解析式；点P 是此抛物线对称轴上的一动点，以E，D，P为顶点的三角形与 $Δ O A B$ 相似，问抛物线上是否存在点Q，使得 $S_{Δ E P Q} = S_{Δ O A B}$ ，若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由.

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	A	B
甲	20	25
乙	15	24