辽宁省五城市2020年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2020-08-10 类型：中考模拟

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一、选择题

1. $- \frac{1}{2020}$ 的绝对值是（）

A、 $\frac{1}{2020}$ B、 $- \frac{1}{2020}$ C、-2020 D、2020

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2. 下列计算结果正确的是（）

A、 $（ - a^{3} ）^{2} = - a^{6}$ B、 $（ a - b ）^{2} = a^{2} - b^{2}$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{3}$ D、 $3 a^{2} + 2 a^{3} = 5 a^{5}$

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3. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列对一元二次方程x²+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（）

A、有两个不相等实数根 B、有两个相等实数根 C、有且只有一个实数根 D、没有实数根

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5. 顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（）

A、平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形

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6. 为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表：

捐款的数额（单位：元）

5

10

20

50

100

人数（单位：个）

2

4

5

3

1

关于这15名同学所捐款的数额，下列说法正确的是（）

A、众数是100 B、平均数是30 C、极差是20 D、中位数是20

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7. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A = 30^{\circ}$ ， $tan B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $3 + \sqrt{3}$ B、 $2 + 2 \sqrt{3}$ C、5 D、 $\frac{9}{2}$

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8. 如图，矩形 $A B C D$ 中，E是 $B C$ 的中点，且 $∠ A E D = 90 °$ ，当 $A D = 10 cm$ 时， $A B$ 等于（）

A、 $10 cm$ B、 $5 cm$ C、 $5 \sqrt{2} cm$ D、 $5 \sqrt{3} cm$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $A C$ 、 $B C$ 于点D、E，点F在 $A C$ 的延长线上，且 $∠ C B F = \frac{1}{2} ∠ A$ ， $\tan ∠ C B F = \frac{1}{3}$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{5}$

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10. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象，下列结论：
①二次三项式 $a x^{2} + b x + c$ 的最大值为4；② $4 a + 2 b + c < 0$ ；③一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 1$ 的两根之和为 $- 2$ ；④使 $y \leq 3$ 成立的 $x$ 的取值范围是 $x \geq 0$ ；⑤抛物线上有两点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 和 $Q (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $x_{1} < - 1 < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > - 2$ ，则 $y_{1} < y_{2}$

其中正确的个数有（）.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 华为 $Mate30$ $5G$ 系列是近期相当火爆的 $5G$ 国产手机，它采用的麒麟990 $5G$ 芯片在指甲盖大小的尺寸上集成了103亿个晶体管，将103亿用科学记数法表示为.

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12. 因式分解： $4 m^{2} + 8 m + 4 =$ .

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13. 等腰三角形的一边长为2，周长为5，那么它的腰长为.

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14. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为.

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15. 如图，将一副三角板按图中方式叠放，BC=4，那么BD=

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16. 如图，在地板的环形图案上， $O A = A B = B C = C D = a$ ，任意抛出一个乒乓球，落在阴影区域的概率是.

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17. 如图，过点C(3，4)的直线 $y = 2 x + b$ 交 $x$ 轴于点A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线 $y = \frac{k}{x} （ x > 0 ）$ 过点B，将点A沿 $y$ 轴正方向平移 $a$ 个单位长度恰好落在该曲线上，则 $a$ 的值为.

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18. 如图，在平面直角坐标系中， $O A = 1$ ，以 $O A$ 为一边，在第一象限作菱形 $O A A_{1} B$ ，并使 $∠ A O B = 60 °$ ，再以对角线 $O A_{1}$ 为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形 $O A_{1} A_{2} B_{1}$ ，再依次作菱形 $O A_{2} A_{3} B_{2}$ ， $O A_{3} A_{4} B_{3}$ ，……， $O A_{n} A_{n + 1} B_{n}$ ，则 $O A_{2020}$ 的长度为.

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $\frac{a - 2}{a + 3} \div \frac{a^{2} - 4}{2 a + 6} - \frac{5}{a + 2}$ ，其中 $a = - 5$ .

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20. △ABC在边长为l的正方形网格中如图所示.

(1)、①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A₁B₁C，使其位似比为1：2.且△A₁B₁C位于点C的异侧，并表示出A₁的坐标.
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A₂B₂C.

(2)、在（2）的条件下求出点B经过的路径长.

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21. 为了解某校九年级学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行统计，结果如下表，并绘制了如下尚不完整的统计图，已知B，E两组发言的人数比为5：2，请结合图表中相关数据回答下列问题：

(1)、本次抽样的学生人数为；

(2)、补全条形统计图；

(3)、该年级共有学生500人，请估计这天全年级发言次数不少于12的人数；

(4)、已知 $A$ 组发言的学生中有1位女生， $E$ 组发言的学生中有2位男生，现从 $A$ 组与 $E$ 组中分别抽一位学生写报告，请用树状图或列表法，求所抽到的两位学生恰好是一男一女的概率.

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22. 如图，已知∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数 $y = - \frac{3}{x} (x < 0)$ 的图象过点 $B (- 3 ， a)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象过点A.

(1)、求 $a$ 和 $k$ 的值.

(2)、过点B作BC∥x轴，与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于点C.求△OAC的面积.

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点P是 $B A$ 延长线上一点，过点P作 $⊙ O$ 的切线 $P C$ ，切点是C，过点C作弦 $C D ⊥ A B$ 于E，连接 $CO$ ， $C B$ .

(1)、求证： $P D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 10$ ， $\tan B = \frac{1}{2}$ ，求 $P B$ 的长.

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24. 鄂尔多斯市某百货商场销售某一热销商品A，其进货和销售情况如下：用16000元购进一批该热销商品A，上市后很快销售一空，根据市场需求情况，该商场又用7500元购进第二批该商品，已知第二批所购件数是第一批所购件数的一半，且每件商品的进价比第一批的进价少10元.

(1)、求商场第二批商品A的进价；

(2)、商场同时销售另一种热销商品B，已知商品B的进价与第二批商品A的进价相同，且最初销售价为165元，每天能卖出125件，经市场销售发现，若售价每上涨1元，其每天销售量就减少5件，问商场该如何定售价，每天才能获得最大利润？并求出每天的最大利润是多少？

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25. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点E是直线 $A C$ 上一动点，点D是直线 $B C$ 上动点，点F是直线 $A B$ 上一动点，且 $∠ D E F = 90 °$ ， $E D = E F$ .

(1)、如图1，当点D，E，F分别在 $B C$ ， $A C$ ， $A B$ 边上时，请你判断线段 $A E$ ， $A F$ ， $E C$ 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论；

(2)、如图2，当D在 $B C$ 延长线上，E在 $C A$ 延长线上，F在 $C B$ 延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请判断线段 $A E$ ， $A F$ ， $E C$ 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；

(3)、若 $A B = A C = 5$ ，当 $A F = 2$ 时，请直接写出 $C E$ 的长.

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 与x轴交于 $A (1 ， 0)$ 和 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C.

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、绕点A旋转的直线 $l$ ： $y = k x + b_{1}$ 与y轴相交于点D，与抛物线相交于点E，且满足 $A D = 2 A E$ 时，求直线l的解析式；

(3)、点P为抛物线上的一点，点Q为抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B，C，P，Q为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由.

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捐款的数额（单位：元）	5	10	20	50	100
人数（单位：个）	2	4	5	3	1