辽宁省辽阳市2020年数学中考四模试卷

试卷更新日期：2020-08-10 类型：中考模拟

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一、选择题

1. $- \frac{1}{2}$ 的倒数是（）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $5 m - 2 m = 3$ B、 ${(- a^{2} b)}^{3} = - a^{6} b^{3}$ C、 $(b - 2 a) (2 a - b) = b^{2} - 4 a^{2}$ D、 ${(- 2 m)}^{2} {(- m)}^{3} = 4 m^{5}$

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4. 如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球4个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则袋子中白球的个数为（）

A、12 B、5 C、4 D、3

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6. 暑假快到了，为了人同学们过一个有意义的假期，老师推荐给大家一本好书.已知小芳每天比小丽多看5页书，并且小芳看80页书所用的天数与小丽看70页书所用的天数相等，若设小芳每天看书 $x$ 页，则根据题意课可列出方程为（）

A、 $\frac{80}{x} = \frac{70}{x - 5}$ B、 $\frac{80}{x} = \frac{70}{x + 5}$ C、 $\frac{80}{x + 5} = \frac{70}{x}$ D、 $\frac{80}{x - 5} = \frac{70}{x}$

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7. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A C$ ， $A B$ 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 $M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线 $A P$ 交边 $B C$ 于点D，若 $C D = 4$ ， $A B = 15$ ，则 $Δ A B D$ 的面积是（）

A、15 B、30 C、45 D、60

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8. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（　　）

A、（0，0） B、（0，1） C、（﹣3，2） D、（3，﹣2）

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9. 如图， $⊙ P$ 与x轴交于点 $A (- 5 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $C$ ．若 $∠ A C B = 60 °$ ，则点 $C$ 的纵坐标为（）

A、 $\sqrt{13} + \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2} + \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} + 2$

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10. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）.对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③4a﹣2b+c＜0；④8a+c＞0.其中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

11. 据统计，2020年中国人口数量约为1424000000人，将1424000000人用科学记数法表示为人.

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12. 函数y= $\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{x}$ 的自变量x的取值范围是．

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13. 已知数据：﹣1，4，2，﹣2，x的众数是2，那么这组数据的平均数为 .

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14. 已知关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 1 - 2 x < 6 \\ 3 x + a \leq 4 \end{array}$ 只有两个整数解，则a的取值范围.

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15. 如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米.

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16. 如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝ $\frac{1}{x}$ 的图象上.若点B在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象上，则k的值为.

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17. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $A B = 6 ， B D ⊥ A C$ 于点D，点 $E 、 F$ 分别是 $B C 、 D C$ 上的动点，沿 $E F$ 所在直线折叠 $△ C E F$ ，使点 $C$ 落在 $B D$ 上的点 $C^{'}$ 处，当 $△ B E C^{'}$ 是直角三角形时， $B C^{'}$ 的值为.

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18. 如图，在平面直角坐标系中，直线l₁：y= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ x，直线l₂：y= $\sqrt{3}$ x，在直线l₁上取一点B，使OB=1，以点B为对称中心，作点O的对称点B₁ ，过点B₁作B₁A₁∥l₂ ，交x轴于点A₁ ，作B₁C₁∥x轴，交直线l₂于点C₁ ，得到四边形OA₁B₁C₁；再以点B₁为对称中心，作O点的对称点B₂ ，过点B₂作B₂A₂∥l₂ ，交x轴于点A₂ ，作B₂C₂∥x轴，交直线l₂于点C₂ ，得到四边形OA₂B₂C₂；…；按此规律作下去，则四边形OA_nB_nC_n的面积是．

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $(\frac{2}{x + 2} + \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4}) \div \frac{x - 2}{x + 2}$ ，其中 $x = {(\frac{1}{2})}^{- 2} - \tan 45 ° - {(π - 2020)}^{0} + 2 \cos 60 °$

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20. 某中学为做好学生“午餐工程”工作，学校工作人员搭配了A，B，C，D四种不同种类的套餐，学校决定围绕“在A，B，C，D四种套餐中，你最喜欢的套餐种类是什么？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查问适当整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢D种套餐的学生占被抽取人数的20%.请你根据以上信息解答下列问题：

最喜欢的套餐种类的人数发布情况

(1)、在这次调查中，一共抽取了名学生；

(2)、通过计算，补全条形统计图；

(3)、如果全校有2000名学生，请你估计全校学生中最喜欢 $B$ 种套餐的学生有多少名？

(4)、甲、乙两名同学一起去学校餐厅就餐，他们随机在“A，B，C，D四种套餐”中选择一种，求甲、乙两名同学选择同一种套餐就餐的概率.

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21. 近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注，某学校计划在教室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备，已知：购买1台A种设备和2台B种设备需要3.5万元；购买2台A种设备和1台B种设备需要2.5万元.

(1)、求每台A种、B种设备各多少万元？

(2)、根据学校实际，需购进A种和B种设备共30台，总费用不超过30万元，请你通过计算，求至少购买A种设备多少台？

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22. 如图，直线y＝x+m与双曲线y＝ $\frac{k}{x}$ 相交于A（2，1），B两点.

(1)、求出一次函数与反比例函数的解析式，并求出B点坐标；

(2)、若P为直线x＝ $\frac{1}{2}$ 上一点，当△APB的面积为6时，请求出点P的坐标.

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23. （2016·黄冈）东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为：
$p = {\begin{array}{l} \frac{1}{4} t + 30 (1 \leq t \leq 24 ， t 为整数) \\ - \frac{1}{2} t + 48 (25 \leq t \leq 48 ， t 为整数) \end{array}$ ，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如下表：

时间t（天）

1

3

6

10

20

…

日销售量y（kg）

118

114

108

100

80

…

(1)、已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？

(2)、问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？

(3)、在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象.现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围.

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24. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $Δ A B C$ 的角平分线， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A D$ 于点E，点O在 $A B$ 边上，以点O为圆心的 $⊙ O$ 经过B、E两点，交 $A B$ 于点F.

(1)、求证： $A E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ B A C = 60 °$ ， $A C = 6$ ，求阴影部分的面积.

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25. 如图

(1)、问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系.

（发现证明）小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论.

(2)、（类比引申）如图(2)，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF=BE+FD.

(3)、（探究应用）如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（ $\sqrt{3}$ ﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据： $\sqrt{2}$ =1.41， $\sqrt{3}$ =1.73）

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26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (3 ， 0)$ .

(1)、求该抛物线的表达式及顶点D的坐标；

(2)、若点M是x轴上的一个动点，设 $Δ M D C$ 的面积为S，动点M的坐标为 $(t ， 0)$ ，令 $Q = S (3 t - 19)$ ，当 $1 < t < 3$ 时，Q是否有最小值？若有，请求出Q的最小值和此时 $t$ 的值；若没有，请说明理由；

(3)、在抛物线上有一个动点P，y轴上有一个动点N，使得以A、B、P、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标.

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时间t（天）	1	3	6	10	20	…
日销售量y（kg）	118	114	108	100	80	…