湖北省武汉市江岸区2020年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2020-08-10 类型：中考模拟

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一、选择题

1. 2020的相反数是（）

A、 2020 B、﹣2020 C、 $\frac{1}{2020}$ D、 $- \frac{1}{2020}$

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2. 若代数式 $\sqrt{2 x - 4}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \leq 2$ 且 $x \neq 0$ B、 $x \geq 4$ C、 $x \geq 2$ D、 $x \geq 0$

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3. 下列事件不属于随机事件的是（）

A、品学兼优的小涛在考试中取得满分 B、太阳从西边升起 C、掷一枚骰子得到的点数为6 D、小王在抽奖活动中获得一等奖

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4. 下列图形中，是中心对称图形的是（）
①菱形②等边三角形③圆④梯形⑤正方形

A、②④⑤ B、①②③⑤ C、①③⑤ D、②③⑤

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5. 如图所示的几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 在反比例函数 $y = \frac{2 k - 8}{x}$ 图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（）

A、 $k \geq 0$ B、 $k > 4$ C、 $k \geq 4$ D、 $k < 4$

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7. 小鲲在上学的路上有三个红绿灯，在畅通无阻的时候需要步行8分钟，闪红灯和绿灯的时间各占一半（不闪黄灯），遇到红灯的时候需要停顿1分钟，小明在10分钟内（包括10分钟）到达学校的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、0 D、 $\frac{7}{8}$

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8. A将军和B将军要在甲地秘密集合，他们从不同地方出发相向而行.由于甲地地处密林而路况复杂，因此有一联络员在两人间不停地骑车往返来通风报信.在某一次遇见B时，B刚好抵达了甲地，联络员就骑车去接A.已知 $A ， B$ 到甲地的距离相同，且C在一开始（ $t = 0$ 时）是从B将军处向A将军处骑去.此过程中A的行进距离y（单位：m）随时间x（单位：s）的函数图象如图所示.若点D对应B到达，且B到达的时间恰为计划时间，则A迟到了（）

A、 $40 s$ B、 $45 s$ C、 $50 s$ D、 $60 s$

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9. 如图， $A B C D$ 为⊙O的内接四边形，且 $C D$ 平分 $∠ A D E$ ， $E D$ 与⊙O相切.若 $\frac{F D}{F C} = \frac{a}{b}$ ，则 $\frac{E B}{E C} =$ （）

A、 $\frac{a}{b}$ B、 $\frac{2 a}{b}$ C、 $\frac{a^{2}}{b^{2}}$ D、 $\frac{a \sqrt{b}}{b}$

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10. （问题背景）“整体替换法”是数学里的一种常用计算方法.利用式子的特征进行整体代换，往往能解决许多看似复杂的问题.
（迁移运用）计算 $\frac{1}{1 + 2 + \frac{1}{1 + 2 + \frac{1}{1 + 2 + \frac{1}{1 + 2 + \dots}}}}$ 的值

解：设原式 $= x$ ，则可分析得： $x = \frac{1}{1 + 2 + x}$

根据上述方程解得： $x_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}$ ， $x_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{13}}{2}$

而原式 $> 0$ ，故：原式 $= x_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}$

（联系拓展） $2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + 2^{6} + \dots + 2^{20} =$ ___________

A、 $2^{21} - 1$ B、 $2^{21} - 2$ C、 $2^{22} - 1$ D、 $2^{22} - 2$

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二、填空题

11. 计算： $\cos 30 ° =$ .

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12. 某质量检测实验室统一采购了一批 $A D C$ 芯片共16件，收集尺寸如下表：

尺寸/ $m m^{2}$

195

205

220

225

275

315

数量/件

2

2

1

3

3

5

这组数据的中位数是.

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13. 计算： $x + 1 - \frac{x^{2} + 1}{x - 1} =$ .

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14. 在四边形 $A C B D$ 中， $A C ⊥ B C$ 且 $B C = 2$ ， $A D = 3$ ， $A B = 4$ ， $B D = 5$ ，则 $∠ C A D =$ .

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15. 如图，拋物线 $C_{1} ： y = a x^{2} + b x + c$ 过 $(- 1 ， 2)$ ，且与 $x$ 轴的交点分别为 $A ， B$ （ $A$ 在 $B$ 左侧）.观察图像，选出下列选项中的正确项.

① $4 a - 2 b + c \leq 0$ ；② $b < a < b + 1$ ；③ $2 a + b > 0$ ；④若 $a < - 1$ ，则 $b^{2} - 4 a c < 9$ ；⑤若抛物线 $C_{2}$ 满足 $a > 0$ 且经过 $(1 ， 0)$ ，则 $C_{2}$ 与 $x$ 轴必有两个不相同的交点.

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16. 如图，在四边形 $A B C E$ 中， $∠ A B C = 45 °$ ， $B D ⊥ A C$ 交 $C E$ 于F，使得 $D E // A B$ 且 $D F = E F$ .若在线段 $D F$ 上取一点G，满足： $C G$ 平分 $∠ D C F$ 且 $\tan ∠ G C D = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{C G + A G}{G D}$ 的值为.

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三、解答题

17. 计算： $(m^{3} \times m^{3} - m^{4}) \div [(m + 1) (m - 1)]$ .

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18. 如图，矩形 $A B C D$ 在四边形 $A E C F$ 中，且满足 $S_{Δ A E D} = S_{Δ C B F}$ .

求证：四边形 $A E C F$ 为平行四边形.

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19. 在武汉人民的共同努力下，疫情防控态势稳步向好，学生们分批回到了向往已久的校园.为了有序地分类开展体育活动，体育老师在全年级针对大家的兴趣爱好进行了抽样调查，并以收集的结果绘制出了以下两幅不完整的规范统计图.其中A代表跑步，B代表俯卧撑，C代表蹦跳，D代表跳绳，E代表其他类别.根据以上信息，回答下列问题：

(1)、此次共有人接受调查；最受欢迎的运动是.

(2)、若图中的圆半径为2，则扇形统计图中 $E$ 组所对应的弧长为.

(3)、若该校共有1200名学生，请估计该校喜欢蹦跳的学生共有多少.

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20. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，仅用无刻度直尺，在给定网格 $8 \times 10$ 中画图，完成下列问题.

(1)、①过点B作直线 $l ⊥$ 直线 $A C$ ；
②作线段 $A C$ 中点R；
③作点B关于直线 $A C$ 的对称点 $B^{'}$ ；

(2)、根据以上提示，点M、N、P分别为边 $B A$ 、 $A C$ 、 $C P$ 上的动点，当 $Δ M N P$ 的周长最小时，作出点M、N、P，并直接写出 $Δ M N P$ 的周长为.

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21. 如图，⊙ $O$ 过 $Δ A B C$ 的顶点A、B，交 $A C$ 于D，连接 $B D$ 、 $O B$ 、 $O D$ ， $∠ C B D = ∠ B A C$ .

(1)、证明： $B C$ 为⊙ $O$ 的切线；

(2)、 $D H$ 平分 $∠ B D C$ 交 $B C$ 于 $H$ ， $O B // D H$ 且 $O B$ 分别交 $A C$ 、⊙ $O$ 于M、N.已知 $A B = 5$ ， $\cos ∠ A B K = \frac{3}{5}$ ，求 $\frac{M N}{M B}$ 的值.

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22. 某品牌 $T$ 恤现在已经火遍全武汉.有一家商店正在火热售卖该T恤，每日销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间存在一次函数关系，如下表所示.已知该T恤的成本为30元/件.

销售单价x（元/件）

40

50

60

销售量y（件）

220

200

180

(1)、直接写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量 $x$ 的取值范围）

(2)、当销售单价为元时，每日销售利润最大.此时最大利润为.（直接写出答案）

(3)、该品牌总经理为了给武汉各店送福利，将该T恤的成本降低了m元（ $m > 0$ ）.同时，应市场要求，每日销售量不得超过100件，此时每日最大销售利润为7600元.求m的值.

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23. 平行四边形 $A B C D$ 中，N为线段 $C D$ 上一动点.

(1)、如图1，已知 $∠ A D C < 90 °$ .若 $D R = B N$ ，求证：四边形 $D R B N$ 为平行四边形；

(2)、如图2，已知 $∠ A B C = 60 °$ .若 $B N$ 为 $∠ A B C$ 的角平分线，T为线段 $B N$ 上一点， $D T$ 的延长线交线段 $B C$ 于点M，满足： $\tan ∠ B T M = \frac{1}{2}$ 且 $D N = B M$ .请认真思考（1）中图形，探究 $\frac{M D}{A D}$ 的值.

(3)、如图3，平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = B C = 2$ ，P在线段 $B D$ 上，Q在线段 $C D$ 上，满足： $B P = 2 C Q$ .直接写出 $(2 Q A + A P)$ 的最小值为.

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24. 如图1，抛物线 $C_{1} ： y = x^{2} + b$ 交 $y$ 轴于 $A (0 ， 1)$ .

(1)、直接写出抛物线 $C_{1}$ 的解析式.

(2)、如图1，x轴上两动点 $M ， N$ 满足： $- X_{m} = X_{n} = n$ .若 $B ， C$ （B在C左侧）为线段 $M N$ 上的两个动点，且满足：B点和C点关于直线 $l ： x = 1$ 对称.过B作 $B B^{'} ⊥ x$ 轴交 $C_{1}$ 于 $B^{'}$ ，过C作 $C C^{'} ⊥ x$ 轴交 $C_{1}$ 于 $C^{'}$ ，连接 $B^{'} C^{'}$ .求 $B^{'} C^{'}$ 的最大值（用含n的代数式表示）.

(3)、如图2，将抛物线 $C_{1}$ 向下平移 $\frac{7}{8}$ 个单位长度得到抛物线 $C_{2}$ . $C_{2}$ 对称轴左侧的抛物线上有一点M，其横坐标为m.以 $O M$ 为直径作 $⊙ K$ ，记⊙ $K$ 的最高点为Q.若Q在直线 $y = - 2 x$ 上，求m的值.

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销售单价x（元/件）	40	50	60
销售量y（件）	220	200	180

尺寸/ $m m^{2}$	195	205	220	225	275	315
数量/件	2	2	1	3	3	5