河南省郑州八中2020年数学中考内部摸底试卷

试卷更新日期：2020-08-10 类型：中考模拟

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一、选择题

1. $- \frac{1}{2020}$ 的相反数是（）

A、2020 B、-2020 C、 $\frac{1}{2020}$ D、 $- \frac{1}{2020}$

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2. 新型冠状病毒疫情引起全国人民的关注，在社会各界贡献力量的同时，演艺圈也进行着公益接力.据有关报道称：截至2月16日20点，演艺圈人士共捐赠口罩近300万个，募集善款金额达到约577 000 000元.数据“577 000 000”用科学记数法表示为（）

A、 $3 \times 10^{6}$ B、 $3 \times 10^{7}$ C、 $5.77 \times 10^{8}$ D、 $5.77 \times 10^{9}$

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3. 如图所示，一副三角尺摆放置在矩形纸片的内部，三角形的三个顶点恰好在矩形的边上，若 $∠ F G C = 16 °$ ，则 $∠ A E F$ 等于（）

A、 $106 °$ B、 $114 °$ C、 $126 °$ D、 $134 °$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $3 a^{2} - a^{2} = 2$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(x - 2)}^{2} = x^{2} - 4$ D、 ${(a^{3} b)}^{2} = a^{6} b^{2}$

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5. 某学习小组送给医务工作者的正方体6面上都有一个汉字，如图所示是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“最”字所在面相对的面上的汉字是（）

A、美 B、的 C、逆 D、人

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6. 下列关于 $x$ 的一元二次方程一定没有实数根的是（）

A、 $x^{2} = - 3 x$ B、 $x^{2} - m x - 1 = 0$ C、 $x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0$ D、 $9 x^{2} - 6 x + 4 = 0$

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7. 某企业复工之后，举行了一个简单的技工比赛，参赛的五名选手在单位时间内加工零件的合格率分别为：94.3% ，96.1% ， 94.3% ，91.7% ，93.5%.关于这组数据，下列说法正确的是（）

A、平均数是93.96% B、方差是0 C、中位数是93.5% D、众数是94.3%

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8. 《一千零一夜》记载了这样一段文字：一群鸽子，一部分在树上唱歌，一部分在树下觅食，树上的一只鸽子对树下的一只鸽子说：“若你们中的一个飞上来一只，则树上的鸽子就是树下的2倍”，树下的鸽子回应说：“树上的鸽子飞下来一只，树上、树下的鸽子就相同了”.设树上的鸽子 $x$ 只，树下的鸽子 $y$ 只，根据题意可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 2 y \\ x - 1 = y + 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + 1 = 2 (y - 1) \\ x - 1 = y + 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x - 1 = 2 (y + 1) \\ x + 1 = y - 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + 1 = 2 y \\ x - 1 = y + 1 \end{array}$

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9. 如图所示，在Rt△ABC中， $∠ A B C = 90 °$ ，以点A为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交AB、AC于M、N两点，再以M、N为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若 $A B = 3 ， A C = 5$ ，则CD的长度为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{6}}{3}$

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10. 平面直角坐标系中，菱形ABCD如图所示， $O A = 3$ ，点D在线段AB的垂直平分线上，若菱形ABCD绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒 $45 °$ ，则第70秒时点D的对应坐标为（）

A、 $(2 \sqrt{3} ， 3)$ B、 $(- 2 \sqrt{3} ， - 3)$ C、 $(3 ， - 2 \sqrt{3})$ D、 $(- 3 ， 2 \sqrt{3})$

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二、填空题

11. 计算： $| - 5 | - \sqrt[3]{- 8} =$ .

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12. 不等式组 ${\begin{array}{l} 5 + 2 x \geq 1 \\ \frac{x - 1}{2} < 3 \end{array}$ 的解集为.

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13. 如图所示为概率活动课上制作的一个转盘，盘面被均分为3个扇形，依次标注有数字 $- 2$ ， $\sqrt{9}$ ， $\frac{π}{2}$ .现转动转盘两次，记录下转盘停止后指针所对的数字（指针指向分界线时重新转），则两次记录的数字均为有理数的概率为.

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14. 如图所示，在Rt△ABC中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = 2$ ，将三角形绕着BC的中点O逆时针旋转 $60 °$ ，点A的对应点为E，则图中阴影部分的面积为.

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15. 如图所示，矩形ABCD中， $A B = 2 ， B C = 4$ ，点E为BC边上不与端点重合的一动点，连结AE，并将△ABE沿直线AE翻折，得点B的对应点F，连结CF，若△CEF为直角三角形，则BE的长度为.

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x^{2} - x} + 1) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中 $x$ 从 $- 1$ ，0 ，1，2中选取.

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17. 如图所示，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，作 $∠ A C B$ 的平分线交圆周于点D，连结AD、BD，AB、CD交于点E.

(1)、求证：△ABD为等腰直角三角形；

(2)、填空：
①若 $A C = 2 B C = 4$ ，则AE的长度为；

②在①的条件下，延长AC、DB交于点P，则 $C P =$ .

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18. 2020年春季开学后，某校制定了《新冠肺炎疫情防控期间就餐规范》，条例规定：不对面就餐、食而不语、错峰就餐、鼓励打包等就餐措施.为了解学生对规范的认知程度，校园小记者随机调查部分同学，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图表：

请根据以上图表，解答下列问题：

(1)、这次被调查的同学共有人， $m =$ ， $n =$ ；

(2)、求扇形统计图中B部分所对圆心角度数；

(3)、学校团委及政教处准备对“不太了解”及“毫不知情”的同学进行再学习培训，请问我校2400名学生中预计有多少人要接受再学习?

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19. 如图所示，王林到某景区参观大佛（AB），他在E点直立测得大佛顶端的仰角为 $37 °$ ，当其再次前行6. 43米在G点测得大佛顶端的仰角为 $45 °$ ，若已知大佛（AB）的高度为21米，请你依据数据计算王林同学的身高为多少米?（结果精确到0. 1米）
（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60 ， \cos 37 ° \approx 0.80 ， \tan 37 ° \approx 0.75$ ）

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20. 学校拟购进一批手动喷淋消毒设备，已知1个A型喷雾器和2个B型喷雾器共需90元；2个A型喷雾器和3个B型喷雾器共需165元.

(1)、问一个A型喷雾器和一个B型喷雾器的单价各是多少元?

(2)、学校决定购进两种型号的喷雾器共60个，并且要求B型喷雾器的数量不能多于A型喷雾器的4倍，请你设计出最为省钱的购买方案，并说明理由.

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21. 如图所示，直线 $y_{1} = k x + b$ 与反比例函数 $y {}_{2}= \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $P (2 ， a)$ ， $Q (8 ， 1)$ ，与坐标轴交于A、B两点.

(1)、求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)、观察图象，当 $x > 0$ 时，直接写出不等式 $k x + b < \frac{m}{x}$ 的解集；

(3)、将直线 $y_{1} = k x + b$ 向下平移 $n$ 个单位，若直线与反比例函数 $y {}_{2}= \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象有唯一交点，求 $n$ 的值.

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22. 几何探究：

(1)、（问题发现）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）

(2)、（类比探究）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有 $30 °$ 角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由；

(3)、（拓展延伸）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1 ： 2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若 $B C = 2 \sqrt{2}$ ，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长.

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23. 如图所示，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于A、B两点，交y轴于点C，直线 $y = x + 3$ 经过点A、C.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P为直线AC上一点，在平面内是否存在点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形为正方形?若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、在 $x$ 轴上存在点M，且 $∠ A C M = \frac{1}{3} ∠ C A O$ ，请直接写出点M的坐标.

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