广西柳州市2020年数学中考模拟试卷（6月）

试卷更新日期：2020-08-10 类型：中考模拟

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一、选择题

1. 中国人很早开始使用负数，古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数.如果零上8℃记作+8℃，那么-6℃表示（）

A、零下14℃ B、零上6℃ C、零下6℃ D、零上2℃

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2. 下列图形中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则cosA的值是（　　）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a = a^{3}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{4}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$

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5. 若﹣1＜x＜0，则 $\sqrt{x^{2}}$ ﹣ $\sqrt{{(x + 1)}^{2}}$ ＝（）

A、2x+1 B、1 C、﹣2x﹣1 D、﹣2x+1

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6. 将抛物线y=5(x−1)²+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（）

A、 $y = 5 {(x - 1)}^{2} + 1$ B、 $y = 5 {(x - 4)}^{2} + 3$ C、 $y = 5 {(x - 4)}^{2} - 1$ D、 $y = 5 {(x - 3)}^{2} + 4$

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7. 《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其 $\frac{2}{3}$ 的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（）

A、 ${\begin{cases} x + \frac{1}{2} y = 50 \\ \frac{2}{3} x + y = 50 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} x + \frac{1}{2} y = 50 \\ x + \frac{2}{3} y = 50 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} \frac{1}{2} x + y = 50 \\ \frac{2}{3} x + y = 50 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} \frac{1}{2} x + y = 50 \\ x + \frac{2}{3} y = 50 \end{cases}$

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8. 如图，点A，B，C，D在 $⊙ O$ 上， $\overset{⌢}{C B} = \overset{⌢}{C D} ，$ ∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ACB=（）

A、 $30 °$ B、 $50 °$ C、 $70 °$ D、 $80 °$

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9. 某校在“我运动，我快乐”的技能比赛培训活动中，在相同条件下，对甲、乙两名同学的“单手运球”项目进行了5次测试，测试成绩（单位：分）如下：根据右图判断正确的是（）

A、甲成绩的平均分低于乙成绩的平均分； B、甲成绩的中位数高于乙成绩的中位数； C、甲成绩的众数高于乙成绩的众数； D、甲成绩的方差低于乙成绩的方差．

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10. 宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 $A B C D$ ，分别取 $A D ， B C$ 的中点 $E ， F$ ，连接 $E F$ ，以点F为圆心，以 $F D$ 为半径画弧，交 $B C$ 的延长线于点G；作 $G H ⊥ A D$ ，交 $A D$ 的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）

A、矩形ABEF B、矩形EFCD C、矩形EFGH D、矩形ABGH

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11. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则DE的长为（）

A、2.2 B、2.5 C、2 D、1.8

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12. 已知点 $A (0 ， 2) ， B (1 ， 0)$ ，点 $C$ 是函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 上的一点，若 $∠ A B C = 2 ∠ O A B$ （O为坐标原点），则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 如图，直线 $a / / b$ ，直线c与直线a，b都相交.若 $∠ 1 = 115 °$ ，则 $∠ 2 =$ .

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14. 已知x=1是方程x²+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是．

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15. 因式分解： $a^{2} (b - 2) + (2 - a) (2 - b) =$ .

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16. 已知圆锥的底面积为16 $π$ cm² ，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是cm² ．

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17. 如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式.

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18. 如图，P为长方形 $A B C D$ 外一点且 $A P ⊥ D P ， ∠ P A D = 30 °$ .若长方形 $A B C D$ 的面积为 $16 c m^{2}$ ，那么 $△ P A B$ 的面积是 $c m^{2}$ .

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三、解答题

19. 已知x+y=xy，求代数式 $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ ﹣（1﹣x）（1﹣y）的值.

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20. 如图，点 $C$ 是线段 $B D$ 的中点， $A B ∥ E C$ ， $∠ A = ∠ E$ ．求证： $A B = E C$ ．

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21. 某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y (元)与上网时间x (小时)的函数关系如图所示，其中 $B A$ 是线段，且 $B A / / x$ 轴， $A C$ 是射线.

(1)、当 $x ⩾ 30$ 时，求y与x之间的函数关系式；

(2)、若小李4月份上网35小时，他应付多少元的上网费用?

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22. 我们用 $[x]$ 来表示不超过实数x的最大整数，如 $[0.2] = 0 ， [\sqrt{2}] = 1$ .

(1)、若 $[x] = 1$ ，则实数x所有可能取值的范围是.

(2)、求方程 $[x] + [y] = 1 (x \geq 0 ， y \geq 0)$ 的解.

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23. 中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富.某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：

(1)、扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为度，并将条形统计图补充完整.

(2)、此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率.

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24. 已知一次函数 $y = x + 2$ 与反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象相交于点A.

(1)、求点A的坐标；

(2)、若点P是一次函数 $y = x + 2$ 图象上的任意一点，求线段 $O P$ 的最小值，并指出此时点P的坐标.

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25. 已知圆O是等边 $Δ A B C$ 的外接圆，延长 $B C$ 至 $E$ ，使 $B C = C E$ ，连 $A E$ 交圆O于G，点D在 $A C$ 边上，且 $A D = 2 C D$ ，延长 $B D$ 至交 $A E$ 于F.

(1)、求证： $A B ⊥ A E$ ；

(2)、求证： $C F$ 是圆O的切线；

(3)、求 $\frac{A G}{G F}$ 的值.

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26. 已知二次函数 $m ： y = - \frac{1}{4} x^{2} + 2 x - \frac{1}{2}$ 与一次函数 $n ： y = k x - 3$ ，

(1)、求证：对任意的实数k ，函数m与n的图象总有两个交点

(2)、设 $m$ 与 $n$ 的图象相交于 $A ， B$ 两点，m的图象与y轴相交于点C，记 $Δ O A C$ 与 $Δ O B C$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ （O为坐标原点），求证： $S_{1} S_{2}$ 总是定值；

(3)、对于二次函数m，是否存在实数 $a ， b$ ，使得当 $a \leq x \leq b$ 时，恰好有 $a \leq y \leq b$ ，若存在，请求出 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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