广西北部湾经济区2020年同城中考学科素养测试（四）数学试卷

试卷更新日期：2020-08-10 类型：中考模拟

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一、选择题

1. ﹣3的相反数为（）

A、﹣3 B、﹣ $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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2. 如图，用大小一样的正方体搭建一个几何体，该几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2019年10月1日，为庆祝新中国成立70周年，南京在玄武湖举行了烟花灯光秀.据统计，当晚约有76万人欢聚在玄武湖园内及其周边观看这一表演.数据76万用科学记数法表示为（）

A、 7.6×10⁵ B、7.6×10⁶ C、76×10⁵ D、0.76×10⁶

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4. 下列运算中正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{2} + a^{3} = a^{6}$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{4}$ D、 $2 (a + b) = 2 a + b$

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5. 若 $a > b$ ，则下列结论不一定成立的是（）

A、 $a - 1 > b - 1$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $- 2 a < - 2 b$ D、 $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$

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6. 如图尺规作业， $O C$ 为 $∠ A O B$ 的平分线，这样的作法依据是（）

A、 $S S S$ B、 $S A S$ C、 $A S A$ D、 $A A S$

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7. 已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，则此多边形的边数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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8. 如图， $Δ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $A C = 5$ ， $B C = 2$ ，将 $Δ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $60 °$ 得到 $Δ A E D$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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9. 如图，等边 $Δ A B C$ 的内切圆O切 $B C$ 边于点D，已知等边三角形的边长为12，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $π$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ C、 $2 π$ D、 $\sqrt{3}$

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10. 我图古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是说“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘.问人和车的数量各是多少？”若设有 $x$ 个人，则可列方程是（）

A、 $3 (x + 2) = 2 x - 9$ B、 $3 (x + 2) = 2 x + 9$ C、 $\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 9}{2}$ D、 $\frac{x}{3} - 2 = \frac{x - 9}{2}$

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11. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，与x轴的一个交点坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，其部分图象如图所示，下列结论：① $2 a + b = 0$ ；② $b^{2} - 4 a c < 0$ ；③当 $y > 0$ 时，x的取值范围是 $- 1 < x < 3$ ；④当 $x > 0$ 时，y随x增大而增大；⑤若t为任意实数，则有 $a + b \geq a t^{2} + b t$ ，其中结论正确的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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12. 如图，等边 $Δ O A B$ 的边长为 $\frac{1}{2}$ ，以O为圆心， $C D$ 为直径的半圆经过点A，连接 $A D$ ， $B C$ 相交于点P，将等边 $Δ O A B$ 从 $O A$ 与 $O C$ 重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转 $120 °$ ，交点P运动的路径长是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{2}{3} π$

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二、填空题

13. 若二次根式 $\sqrt{x + 2}$ 有意义，则x的取值范围为．

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14. 把 $a^{3} - 4 a$ 因式分解的结果是.

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15. 一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，则摸出的小球都是黑球的概率为.

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16. 如图，在一笔直的海岸线 $l$ 上有相距 $4 k m$ 的 $A ， B$ 两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东 $60 °$ 的方向上，从B站测得船C在北偏东 $30 °$ 的方向上，则船C到海岸线 $l$ 的距离是 $k m$ .

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17. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $E$ 在 $C D$ 上，将 $Δ A D E$ 沿 $A E$ 翻折至 $Δ A D^{'} E$ ，且 $A D^{'}$ 刚好过 $B C$ 的中点P，则 $∠ D^{'} E C =$ .

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18. 如图，点A、B在函数 $y = \frac{k}{x}$ ( $x > 0$ ， $k > 0$ 且 $k$ 是常数)的图象上，且点A在点B的左侧过点A作 $A M ⊥ x$ 轴，垂足为M，过点B作 $B N ⊥ y$ 轴，垂足为N， $A M$ 与 $B N$ 的交点为C，连结 $A B$ 、 $M N$ .若 $Δ C M N$ 和 $Δ A B C$ 的面积分别为1和4，则k的值为.

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三、解答题

19. 计算： $\sqrt{12} + {(- 3)}^{0} - 4 \cos 30^{°} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$

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20. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 (x + 2) > x - 2 \\ \frac{x - 3}{2} \leq \frac{x}{3} - 1 \end{array}$ ，并将其解集表示在数轴上.

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21. 如图， $Δ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1 ， 1)$ 、 $B (4 ， 2)$ 、 $C (3 ， 4)$ .

(1)、画出 $Δ A B C$ 关于 $y$ 轴的对称图形 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出将 $Δ A B C$ 绕原点O按顺时针旋转 $180 °$ 所得的 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、在 $x$ 轴上求作一点P，使 $Δ P A B$ 的周长最小，并直接写出点P的坐标.(不写解答过程，直接写出结果)

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22. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接 $B F$ 交 $A C$ 于点E.

(1)、求证： $Δ F C E ≌ Δ B O E$ ；

(2)、当 $Δ A D C$ 满足什么条件时，四边形 $O C F D$ 为菱形？请说明理由.

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23. 良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质.某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：

收集数据：

从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩(百分制)如下：

七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82

八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50

整理数据：

年级	$x < 60$	$60 \leq x < 80$	$80 \leq x < 90$	$90 \leq x \leq 100$
七年级	0	10	4	1
八年级	1	$a$	8	1

(说明：90分及以上为优秀，80～90分(不含90分)为良好，60～80分(不含80分)为及格，60分以下为不及格)

分析数据：

年级	平均数	中位数	众数
七年级	b	c	75
八年级	77.5	80	d

得出结论：

(1)、根据上述数据，写出

a, b, c, d

的值；

(2)、可以推断出哪个年级学生的体质状况更好一些，并说明理由；

(3)、若七年级共有300名，请估计七年级体质成绩优秀的人数.

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24. 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人.他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装.生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车.

(1)、每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？

(2)、如果工厂招聘n（0<n<10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？

(3)、在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？

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25. 如图1，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $⊙ O$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆，过点 $C$ 作 $∠ B C D = ∠ A C B$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，延长 $D C$ 至点 $F$ ，使 $C F = A C$ ，连接 $A F$ .

(1)、求证： $E D = E C$ ；

(2)、求证： $A F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(3)、如图2，若点 $G$ 是 $Δ A C D$ 的内心， $B C \cdot B E = 25$ ，求 $B G$ 的长.

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26. 已知，如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点为 $M (1 ， 9)$ ，经过抛物线上的两点 $A (- 3 ， - 7)$ 和 $B (3 ， m)$ 的直线交抛物线的对称轴于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式和直线 $A B$ 的解析式．

(2)、在抛物线上 $A ， M$ 两点之间的部分（不包含 $A ， M$ 两点），是否存在点 $D$ ，使得 $S_{Δ D A C} = 2 S_{Δ D C M}$ ？若存在，求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、若点 $P$ 在抛物线上，点 $Q$ 在 $x$ 轴上，当以点 $A ， M ， P ， Q$ 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点 $P$ 的坐标．

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