河南省非凡吉创联盟2019-2020学年高一名校上学期数学12月调研试卷

试卷更新日期：2020-08-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x}$ 的定义域为（）

A、 $[- 1 ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， 0)$ C、 $(- 1 ， + \infty)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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3. 下列命题中，正确的是（）
①在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．

A、①② B、②③ C、②④ D、③④

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4. 函数 $f (x) = e^{x - 1} - \frac{2}{x + 1} - 1$ 的零点所在区间是（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、（0，1） C、(1，2) D、（2，3）

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5. 设 $a = 4^{- \frac{1}{2}}$ ， $b = \log_{0.5} 3$ ， $c = \log_{2} 3$ ，则 $a 、 b 、 c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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6. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的三视图如图所示，其侧面积等于 $4 (1 + \sqrt{2})$ ，则其体积是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、8

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7. $y = | x + 1 | - | x - 1 |$ 的图像为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - 3 x + 2)$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty ， \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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9. 已知平面四边形 $A B C D$ ，按照斜二测画法（ $∠ x^{'} O^{'} y^{'} = 45^{\circ}$ ）画出它的直观图 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是边长为1的正方形（如图所示），则原平面四边形 $A B C D$ 的面积是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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10. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和 $2 \sqrt{3}$ ，此三棱柱的高为 $\sqrt{3}$ ，则该三棱柱的外接球的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $24 π$ C、 $\frac{32 π}{3}$ D、 $\frac{64 π}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + x ， x \in (0 ， 1] ， \\ \ln x ， x \in (1 ， + \infty) ， \end{array}$ 若 $f (x) = a$ 有三个不等实数根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是（）

A、 $(2 ， 1 + \sqrt[4]{e})$ B、 $(2 ， \sqrt[4]{e})$ C、 $(2 ， 1 + \sqrt[2]{e})$ D、 $[2 ， 1 + \sqrt[4]{e}]$

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12. 为了提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚.假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过12800万元的年份是（）（参考数据： $\lg 1.2 \approx 0.079 ， \lg 2 \approx 0.301$ ）

A、2022年 B、2023年 C、2024年 D、2025年

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二、填空题

13. 函数 $y = a^{x - 3} + 3$ 恒过定点

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14. $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} - \sqrt{x} ， x \geq 0 \\ 3 - x ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f [- f (1)] =$ ．

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15. 圆柱的侧面展开图是一个面积为 $16 π^{2}$ 的正方形，该圆柱内有一个体积为 $V$ 的球，则 $V$ 的最大值为．

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16. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ ，对任意的 $x$ 都满足 $f (x) = f (6 - x)$ ，且当 $x \in [0 ， 3]$ 时， $f (x) = 2^{2 x - 1}$ ，则 $f (2019) =$ ．

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三、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 7 \leq 2 x - 1 \leq 7}$ ， $B = {x | m - 1 \leq x \leq 3 m - 2}$ ．

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $A \cap B$ 与 $A \cup (∁_{U} B)$ ．

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数m的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x} - {(\frac{1}{2})}^{x} + 1$ .
（Ⅰ）求满足 $f (x) = 3$ 的实数 $x$ 的值；

（Ⅱ）求 $x \in [- 2 ， 3]$ 时函数 $f (x)$ 的值域．

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19. 如图，正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为a，连接 $A^{'} C^{'}$ ， $A^{'} D$ ， $A^{'} B$ ， $B D$ ， $B C^{'}$ ， $C^{'} D$ ，得到一个三棱锥，求：

(1)、三棱锥 $A^{'} - B C^{'} D$ 的表面积与正方体表面积的比值；

(2)、三棱锥 $A^{'} - B C^{'} D$ 的体积.

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20. 暑假期间，某旅行社为吸引游客去某风景区旅游，推出如下收费标准：若旅行团人数不超过30，则每位游客需交费用600元；若旅行团人数超过30，则游客每多1人，每人交费额减少10元，直到达到70人为止.

(1)、写出旅行团每人需交费用 $y$ （单位：元）与旅行团人数 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、旅行团人数为多少时，旅行社可以从该旅行团获得最大收入？最大收入是多少？

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21. 如图， $A B$ 是圆柱的直径， $P A$ 是圆柱的母线， $A B = 3$ ， $P A = 3 \sqrt{3}$ ，点C是圆柱底面圆周上的点.

(1)、求三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值；

(2)、若 $A C = 1$ ，D是线段 $P B$ 上靠近点 $P$ 的三等分点，点E是线段 $P A$ 上的动点，求 $C E + E D$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (x + 1) ， g (x) = l o g_{a} (2 x + t) (t \in R) ， a > 0 ，$ 且 $a \neq 1$

(1)、若方程 $f (x) - g (x) = 0$ 的一个实数根为2，求 $t$ 的值；

(2)、当 $0 < a < 1$ 且 $t = - 1$ 时，求不等式 $f (x) \leq g (x)$ 的解集；

(3)、若函数 $F (x) = a^{f (x)} + t x^{2} - 2 t + 1$ 在区间 $(- 1 ， 2]$ 上有零点，求 $t$ 的取值范围。

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