河南省创新发展联盟2019-2020学年高一上学期数学第三次联考试卷

试卷更新日期：2020-08-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | 0 < x < 3}$ ， $B = {x | x \leq 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(1, 3)$

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2. 下列几何体中，顶点总数最多的是（）

A、三棱柱 B、四面体 C、六棱锥 D、四棱柱

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3. 在区间 $(0, + \infty)$ 上，下列函数与函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 的单调性相同的是（）

A、 $y = 4^{x}$ B、 $y = x^{2} - 3 x$ C、 $y = 3 x$ D、 $y = 1 - \sqrt{x}$

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4. 在空间中，若直线a、b、c满足 $a ∥ b$ ，且a与c共面，则b与c（）

A、一定是异面直线 B、一定是相交直线 C、可能是平行直线 D、不可能是相交直线

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5. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 - x, x < 0 \\ 2 g (x), x > 0 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 是奇函数，则 $g (1) =$ （）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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6. 底边长为2，高为4的等腰三角形在斜二测画法中对应的直观图为 $Δ A B C$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、4

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7. 设 $α$ ， $β$ 表示两个不同平面，m表示一条直线，下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $α / / β$ ，则 $m / / β$ . B、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ . C、若 $m \subset α$ ， $α / / β$ ，则 $m / / β$ . D、若 $m \subset α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ .

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8. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则函数 $g (x) = \log_{\frac{1}{2}} f (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $(- \infty ， - 3]$ ， $[0 ， 3]$ B、 $[- 3 ， 0]$ ， $[3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 5)$ ， $[0 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 0]$ ， $(5 ， + \infty)$

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9. 已知 $a = 4^{0.6}$ ， $b = 2^{1.1}$ ， $c = \log_{4} 12$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $c < a < b$

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10. 如图，网格纸上小正方形的边长均为a，粗线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的体积为48，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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11. 某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的 $0.5 %$ .已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为 $P = P_{0} \cdot e^{- k t}$ （ $k$ 为常数， $P_{0}$ 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了 $80 %$ ，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为（）（参考数据：取 $\log_{5} 2 = 0.43$ ）

A、8 B、9 C、10 D、14

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $C D$ 上一点，且 $C E = 2 D E$ ，F为棱 $A A_{1}$ 的中点，且平面 $B E F$ 与 $D D_{1}$ 交于点G，与 $A C_{1}$ 交于点H，则（）

A、 $\frac{D G}{D D_{1}} = \frac{1}{5}$ B、 $\frac{A H}{H C_{1}} = \frac{1}{3}$ C、 $\frac{D G}{D D_{1}} = \frac{1}{4}$ D、 $\frac{A H}{H C_{1}} = \frac{3}{8}$

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二、填空题

13. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = x^{2} + 3 x (x \leq 0)$ ，则 $f (x)$ 的零点个数为.

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14. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E、F分别是 $D D_{1}$ 、 $D C$ 上靠近点D的三等分点，则异面直线 $E F$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的大小是.

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15. 已知 $3^{m} = 2^{n} = k$ ，且 $\frac{1}{n} + \frac{3}{m} = 1$ ，则 $k =$ .

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16. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的各棱的长度之和为 $32 c m$ ，若 $A B = 2 c m$ ，则该长方体的体积的最大值为.

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三、解答题

17.

(1)、已知某圆柱的体积为 $3 π$ ，侧面积为 $6 π$ ，求该圆柱的高与表面积；

(2)、如图， $l_{1} // l_{2}$ ， $l_{3}$ 与 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 分别交于A、B两点， $l_{4}$ 与 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 分别交于C、D两点， $E \in A D$ ，证明：A、B、C、D、E五点共面.

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18. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (2 x - 2)$ ， $g (x) = \sqrt{x - 2}$ .

(1)、解方程 $f (x) = g (6)$ ；

(2)、若不等式 $f (x) < 3$ 的解集为 $A$ ，函数 $g (x)$ 的定义域为 $B$ ，求 $A \cap B$ ， $A \cap (∁_{R} B)$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D ⊥ C D$ ， $A B // C D$ ，E、F分别为棱 $P C$ 、 $C D$ 的中点， $A B = 3$ ， $C D = 6$ ，且以线段AC为直径的球的表面积为 $40 π$ .

(1)、证明：平面 $P A D //$ 平面 $B E F$ ；

(2)、若四棱锥 $P - A B C D$ 的高为3，求该四棱锥的体积.

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20. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + x - 8$ ， $g (x) = a \ln x (a \neq 0)$ .

(1)、证明： $f (x)$ 的唯一的零点在 $(2, 3)$ 内；

(2)、若对任意的 $x_{1} \in [1, 3]$ ， $x_{2} \in [\frac{1}{e}, e^{2}]$ ， $f (x_{1}) + 4 a > g (x_{2})$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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21. 如图，在三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中，D是棱 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $B C_{1} //$ 平面 $A_{1} C D$ .

(2)、若E是棱 $B B_{1}$ 上的任意一点，且三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 的体积为12，求三棱锥 $A - A_{1} C E$ 的体积.

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22. 定义在非零实数集上的函数 $f (x)$ 对任意非零实数x，y都满足 $f (\frac{x}{y}) + 2 f (\frac{y}{x}) = \frac{2 x - y}{x}$ .

(1)、求 $f (2)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、设函数 $g (x) = x f (x)$ ，求 $g (x)$ 在区间 $[\frac{1}{4}, 2^{m}]$ 上的最大值 $h (m)$ .

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