2021高考一轮复习第十九讲平面向量的概念及线性运算

试卷更新日期：2020-08-10 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 如果 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个单位向量，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 一定（）

A、相等 B、平行 C、方向相同 D、长度相等

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2. 下列命题中，正确命题的个数是（）
①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量 $\vec{a}$ 共线的单位向量是 $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$ .

A、0 B、1 C、2 D、3

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3. 下列说法正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | > | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$ B、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ D、若 $\vec{a} \neq \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不是共线向量

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4. 下列说法正确的是（）

A、零向量没有方向 B、向量就是有向线段 C、只有零向量的模长等于0 D、单位向量都相等

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5. 给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；②若向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = | \overset{⇀}{b} |$ ，则 $\overset{⇀}{a} = \overset{⇀}{b}$ ③若 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是不共线的四点，则“ $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{D C}$ ”是“四边形 $A B C D$ 为平行四边形”的充要条件；④ $\overset{⇀}{a} = \overset{⇀}{b}$ 的充要条件是 $| \overset{⇀}{a} | = | \overset{⇀}{b} |$ 且 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ .其中正确说法的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 下列说法正确的是（）

A、单位向量都相等 B、若 $\vec{a} \neq \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} | \neq | \vec{b} |$ C、若 $| \vec{a} | ＝ | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、若 $| \vec{a} | \neq | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} \neq \vec{b}$

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7. 对任意向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，下列关系式中不恒成立的是（）

A、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | \leq | \vec{a} | | \vec{b} |$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | \leq | | \vec{a} | - | \vec{b} | |$ C、 ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = | \vec{a} + \vec{b} |^{2}$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) (\vec{a} - \vec{b}) = {\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2}$

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8. 下列说法正确的个数为（）
①零向量没有方向；②向量的模一定是正数；③与非零向量 $\vec{a}$ 共线的单位向量不唯一

A、0 B、1 C、2 D、3

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9. 在 $△ A B C$ 中，D、P分别为 $B C$ 、 $A D$ 的中点，且 $\vec{B P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{c}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，若点D满足 $\vec{B D} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{4}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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11. 下列各式中不能化简为 $\vec{P Q}$ 的是（）

A、 $\vec{A B} + (\vec{P A} + \vec{B Q})$ B、 $(\vec{A B} + \vec{P C}) + (\vec{B A} - \vec{Q C})$ C、 $\vec{Q C} - \vec{Q P} + \vec{C Q}$ D、 $\vec{P A} + \vec{A B} - \vec{B Q}$

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12. 设M是 $Δ A B C$ 边BC上任意一点，N为AM的中点，若 $\overset{⇀}{A N} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $λ + μ$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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13. 下列各式化简正确的是（）

A、 $\vec{O A} - \vec{O D} + \vec{D A} = \vec{0}$ B、 $\vec{A B} + \vec{M B} + \vec{B O} + \vec{O M} = \vec{A B}$ C、 $\vec{A B} - \vec{C B} + \vec{A C} = \vec{0}$ D、 $0 \cdot \vec{A B} = 0$

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14. 正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么 $\overset{⇀}{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{3} \overset{⇀}{A D}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{D A}$ D、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} - \frac{2}{3} \overset{⇀}{A D}$ .

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15. 在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，点O在线段 $C D$ 上（与点C，D不重合）若 $\vec{A O} = x \vec{A B} + (1 - x) \vec{A C}$ ，则x的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(\frac{2}{3} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$

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16. 在 $Δ A B C$ 中， $M$ 为边 $B C$ 上的任意一点，点 $N$ 在线段 $A M$ 上，且满足 $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{N M}$ ，若 $\vec{A N} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C} (λ, μ \in R)$ ，则 $λ + μ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、1 D、4

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二、填空题

17. 计算： $\vec{Q P} + \vec{N Q} + \vec{M N} - \vec{M P} =$ ．

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三、解答题

18. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长等于单位长度1， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $\vec{A C} = \vec{c}$ ，试着写出向量.

(1)、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ；

(2)、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ ，并求出它的模.

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19. 如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段 $O B$ 的一个靠近点B的三等分点，设 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{A O} = \overset{⇀}{b}$ .

(1)、用向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 表示向量 $\overset{⇀}{O C} ， \overset{⇀}{C D}$ ；

(2)、若 $\overset{⇀}{O E} = \frac{4}{5} \overset{⇀}{O A}$ ，求证：C，D，E三点共线.

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20. 如图所示，在平行四边形 $A B C D$ 中，M，N分别为 $D C$ ， $B C$ 的中点，已知 $\overset{⇀}{A M} = \vec{c} ， \overset{⇀}{A N} = \vec{d}$ ，试用 $\vec{c} ， \vec{d}$ 表示 $\overset{⇀}{A B} ， \overset{⇀}{A D}$

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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