2021高考一轮复习第十八讲正弦定理、余弦定理及其应用

试卷更新日期：2020-08-10 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 在△ABC中，cosC= $\frac{2}{3}$ ，AC=4，BC=3，则cosB=（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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2. 在△ABC中，cosC= $\frac{2}{3}$ ，AC=4，BC=3，则tanB=（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 $\sqrt{5}$ C、4 $\sqrt{5}$ D、8 $\sqrt{5}$

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3. 在 $Δ$ ABC中， $\sin^{2} A \leq \sin^{2} B + \sin^{2} C - \sin B \sin C$ ．则A的取值范围是（）

A、（0， $\frac{π}{6}$ ] B、[ $\frac{π}{6}$ ， $π$ ） C、（0， $\frac{π}{3}$ ] D、[ $\frac{π}{3}$ ， $π$ ）

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4. 在 $△ A B C$ 中，若 $\frac{\sin A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、正三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、有一内角为60°的直角三角形

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5. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．若 $a = 1, c = 2 \sqrt{2}, B = 45 °$ ，则 $\sin C =$ （）

A、 $\frac{4}{41}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{41}}{41}$

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6. △ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{B C}$ 的值为（）

A、19 B、14 C、-18 D、-19

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7. 在 $Δ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a^{2} + b^{2} = 2019 c^{2}$ ，则 $\frac{2 \tan A \cdot \tan B}{\tan C (\tan A + \tan B)}$ 的值为（）

A、2017 B、2018 C、2019 D、2020

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8. 在△ABC中， $b = 3 ， c = 6 ， B = 45 °$ ，则三角形解的情况是（）

A、一解 B、两解 C、一解或两解 D、无解

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9. 一船沿北偏西 $45^{\circ}$ 方向航行，正东有两个灯塔A，B， $A B = 10$ 海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东 $60^{\circ}$ ，另一灯塔在船的南偏东 $75^{\circ}$ ，则这艘船的速度是每小时（）

A、5海里 B、 $5 \sqrt{2}$ 海里 C、10海里 D、 $10 \sqrt{2}$ 海里

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10. 在 $Δ A B C$ 中， $a = 3 \sqrt{2}$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ， $\cos C = \frac{1}{3}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为（）．

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，D为 $B C$ 边上一点，若 $△ A B D$ 是等边三角形，且 $A C = 4 \sqrt{3}$ ，则 $△ A D C$ 的面积的最大值为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $10 \sqrt{3}$

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12. 如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线 $A C$ 匀速飞行．在A处观测地面目标A，测得俯角 $∠ B A P = 30 °$ ．经2分钟飞行后在B处观测地面目标P，测得俯角 $∠ A B P = 60 °$ ．又经过一段时间飞行后在 $C$ 处观察地面目标 $P$ ，测得俯角 $∠ B C P = θ$ 且 $c o s θ = \frac{4 \sqrt{19}}{19}$ ，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为（）

A、1.25分钟 B、1.5分钟 C、1.75分钟 D、2分钟

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13. 如图所示，为测一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度h为（）

A、 $(30 + 30 \sqrt{3}) m$ B、 $(30+15 \sqrt{3}) m$ C、 $(15 + 30 \sqrt{3}) m$ D、 $(15 + 15 \sqrt{3}) m$

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14. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ 满足 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c, a = \sqrt{3}$ ，则 $b + c$ 的取值范围是（）

A、 $(1, \sqrt{3})$ B、 $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{3}]$ C、 $(\sqrt{3}, 3 \sqrt{3})$ D、 $(\sqrt{3}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}]$

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A, B$ 的对应边分别为 $a, b$ 且 $A = 2 B, \sin B = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{8}{5}$

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\cos A = \frac{4}{5}, b = 2, S_{△ A B C} = 3$ ，则边 $a$ 为（）

A、 $\frac{20}{3}$ B、 $5$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\frac{\sqrt{97}}{4}$

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二、多选题

17. 对于 $△ A B C$ ，有如下判断，其中正确的判断是（）

A、若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ B、若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 C、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形 D、若 $a = 8$ ， $c = 10$ ， $B = 60 °$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个

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三、填空题

18. $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b \sin A = a \cos (B - \frac{π}{6})$ ．则角 $B$ 的大小为，若 $a = 2, c = 3$ ，则b的值为．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对边分别为a，b，c， $A = 60^{°}$ ， $b = 1$ ，其面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $\frac{a + b + c}{s i n A + s i n B + s i n C} =$ ．

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四、解答题

20. $△ A B C$ 中，sin²A－sin²B－sin²C=sinBsinC．

(1)、求A；

(2)、若BC=3，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \frac{1}{2} (\sin^{2} x - \cos^{2} x) (x \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间.

(2)、在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=1，c=10，cosB= $\frac{1}{7}$ ，求ΔABC的中线AD的长.

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22. 在锐角三角形 $A B C$ 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且 $2 \sin 2 A \cos A - \sqrt{3} \cos (B + C) - \sin 3 A - \sqrt{3} = 0$
（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若 $a = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的周长L的最大值.

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23. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分別为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} a = 2 c \sin A$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{13}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求a+b的值．

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24. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知向量 $\vec{m} = (a + c, a - b)$ 与向量 $\vec{n} = (b, a - c)$ 互相平行，且 $c = \sqrt{3}$ ．

(1)、求角C；

(2)、求a+b的取值范围．

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2021高考一轮复习 第十八讲 正弦定理、余弦定理及其应用

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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