浙江省宁波市九校2019-2020学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2020-08-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {x | | x - 2 | < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 5}$ B、 ${x | 1 < x < 5}$ C、 ${x | x > - 1}$ D、 ${x | x > 1}$

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2. 函数 $f (x) = 2^{x} + x - 4$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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3. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = \ln (- x)$ C、 $y = x e^{x}$ D、 $y = x + \frac{4}{x}$

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4. 从一副不含大小王的52张扑克牌（即 $A, 2, 3, \dots, 10, J, Q, K$ 不同花色的各4张）中任意抽出5张，恰有3张A的概率是（）

A、 $\frac{C_{48}^{2}}{C_{52}^{5}}$ B、 $\frac{A_{48}^{2}}{A_{52}^{5}}$ C、 $\frac{C_{4}^{3} C_{48}^{2}}{C_{52}^{5}}$ D、 $\frac{A_{4}^{3} A_{48}^{2}}{A_{52}^{5}}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \cos x$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若函数 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 的定义域均为R，且都不恒为零，则（）

A、若 $y = f (g (x))$ 为偶函数，则 $y = g (x)$ 为偶函数 B、若 $y = f (g (x))$ 为周期函数，则 $y = g (x)$ 为周期函数 C、若 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 均为单调递减函数，则 $y = f (x) \cdot g (x)$ 为单调递减函数 D、若 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 均为奇函数，则 $y = f (g (x))$ 为奇函数

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7. 对于不等式 $\sqrt{n^{2} + 2 n} < n + 2 (n \in N^{*})$ ，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当 $n = 1$ 时， $\sqrt{1^{2} + 2} < 1 + 2$ ，不等式成立；②假设当 $n = k$ $(n \in N^{*})$ 时，不等式成立，即 $\sqrt{k^{2} + 2 k} < k + 2$ ，则当 $n = k + 1$ 时， $\sqrt{{(k + 1)}^{2} + 2 (k + 1)} = \sqrt{k^{2} + 4 k + 3}$ $< \sqrt{(k^{2} + 4 k + 3) + (2 k + 6)} = \sqrt{{(k + 3)}^{2}} = (k + 1) + 2$ .故当 $n = k + 1$ 时，不等式成立.

则上述证法（）

A、过程全部正确 B、 $n = 1$ 的验证不正确 C、 $n = k$ 的归纳假设不正确 D、从 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 的推理不正确

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8. 已知随机变量 $ξ$ 的取值为 $i (i = 0, 1, 2)$ .若 $P (ξ = 0) = \frac{1}{5}$ ， $E (ξ) = 1$ ，则 $D (2 ξ - 3) =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{16}{5}$

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9. 已知字母x，y，z各有两个，现将这6个字母排成一排，若有且仅有一组字母相邻（如 $x x y z y z$ ），则不同的排法共有（）种

A、36 B、30 C、24 D、16

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10. 设 $a = \frac{2 \sqrt{29}}{3}$ ， $b = \sqrt[3]{29}$ ， $c = \log_{3} 29$ ，则下列正确的是（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $b < a < c$ D、 $a < b < c$

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二、双空题

11. 已知 $9^{a} = 3$ ， $\lg b = a$ ，则 $a =$ ， $b =$ .

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12. 二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中各项系数之和为；该展开式中的常数项为.（用数字作答）

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - x ， x \leq 0 \\ \cos x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (2019 π)) =$ ；若关于x的方程 $f (x + t) = 0$ 在 $(- \infty ， 0)$ 内有唯一实根，则实数t的取值范围是.

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14. 已知函数 $f (x) = \lg (a x^{2} + 6 x + 18)$ .若 $f (x)$ 的定义域为R，则实数a的取值范围是；若 $f (x)$ 的值域为R，则实数a的取值范围是.

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三、填空题

15. 已知随机变量X服从二项分布 $B (n, p)$ ，若 $E (X) = 30$ ， $D (X) = 10$ ，则 $p =$ .

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16. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有种不同的志愿者分配方案 $. ($ 用数字作答 $)$

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17. 已知定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $\frac{x f^{'} (x) - 2 f (x)}{e^{x}} = x^{3}$ ， $f (3) = 9 e^{3}$ ，则关于 $x$ 的方程 $f (x) > e$ 的解集为.

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四、解答题

18. 是否存在正实数a，b，使得等式 $1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = {[\frac{(a n + b) \cdot n}{2}]}^{2}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立？若存在，求正实数a，b的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由.

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19. 一个袋中有10个大小相同的球，其中标号为1的球有3个，标号为2的球有5个，标号3的球有2个.第一次从袋中任取一个球，放回后第二次再任取一个球（假设取到每个球的可能性都相等）.记两次取到球的标号之和为X.

(1)、求随机变量X的分布列；

(2)、求随机变量X的数学期望.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} + | x - a |$ $(a \in R)$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小值 $g (a)$ .

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + (m - e) x - m x^{2}$ .

(1)、当 $m = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $m < 0$ 时，证明： $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 内存在唯一零点.

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22. 已知函数 $f (x) = 3 \sqrt{1 + x} - 4 \ln \frac{x}{8}$ ， $g (x) = x^{4} + m x^{3} + n x^{2} + m x + 10$ ， $m ， n \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意 $x_{1} \in (0 ， + \infty)$ ，总存在 $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求 $m^{2} + n^{2}$ 的最小值.

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