浙江省宁波市慈溪市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {0, 1, 2, 3, 4}$ ，集合 $A = {0, 1, 4}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${1, 4}$ B、 ${1, 2, 3}$ C、 ${2, 3}$ D、 ${0, 2, 4}$

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2. $\sin \frac{11 π}{3} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 若甲、乙、丙、丁四人排队照相，则甲、乙两人必须相邻的不同排法数是（）

A、6 B、12 C、18 D、24

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4. 设复数 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ 的共轭复数为 $\bar{z} = a + b i (a, b \in R)$ ，则 $a + b =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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5. 已知函数 $f (x) = \sqrt{m^{2} + 1} \sin (x + φ)$ ，其中 $\tan φ = m$ （m是常数），则“ $f (x)$ 为奇函数”是“ $m = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 在二项式 $（ x - \frac{1}{\sqrt{x}} ）^{8}$ 的展开式中，含 $x^{5}$ 的项的系数是（）

A、 $- 28$ B、28 C、 $-$ 8 D、8

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7. 若变量 $x$ 、 $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \geq 0 \\ x - y - 1 \geq 0 \\ x + 3 y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $x + y$ 的最大值为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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8. 已知实数x、y满足 $x^{2} - | x | y + 16 = 0$ ，若 $x \leq - 8$ ，则y的最小值（）

A、8 B、10 C、12 D、16

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9. 设 $λ \in R$ ，若单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 满足： $\vec{e_{1}} ⊥ \vec{e_{2}}$ 且向量 $\sqrt{3} \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{e_{1}} - λ \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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10. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ 的图象经过四点： $(x_{1}, 0)$ ， $(x_{2}, 0)$ ， $(1, p)$ ， $(2, q)$ ，其中 $1 < x_{1} \leq x_{2} < 2$ ，则 $p q$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{16}$

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二、双空题

11. 已知 $\lg 3 = a$ ，则 $\lg 30 =$ （用 $a$ 表示）； $100^{a} =$ .（用整数值表示）.

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12. 已知函数 $f (x) = 4 e^{x} + e^{- x}$ 和点 $M (0 ， 5)$ ，则导数 $f^{'} (x) =$ ； $y = f (x)$ 的图像在点M处的切线的方程是.

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13. 若有恒等式 ${(- 5 + 5 x - x^{2})}^{3} = a_{0} + a_{1} (2 - x) + a_{2} {(2 - x)}^{2} + a_{3} {(2 - x)}^{3} + \dots + a_{6} {(2 - x)}^{6}$ ，则 $a_{6} =$ ； $\frac{a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6}}{a_{1} + a_{3} + a_{5}} =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos^{2} x - \sin x \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $f (\frac{π}{6}) =$ ；函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为.

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三、填空题

15. 若有三个新冠肺炎重症突击小分队，已知第一小分队人数多于第二小分队，第二小分队人数多于第三小分队，但第三小分队人数的两倍却要多于第一小分队.则这三个小分队人数的总和的最小值为.

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16. 给出下列四组函数：① $f (x) = | x | (x \in R)$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2}} (x \in R)$ ；② $f (x) = x (0 \leq x \leq 1)$ ， $g (x) = x^{2} (0 \leq x \leq 1)$ ；③ $f (x) = x (x \in {0, 1})$ ， $g (x) = | x - 1 | (x \in {0, 1})$ ；④ $f (x) = x (x \in {0, 1})$ ， $g (x) = x^{2} (x \in {0, 1})$ ，其中，表示不同一个函数的组的序号是.（把你认为表示不同一个函数的组的序号都写上）

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17. 已知集合 $A = {(a, b) | 3 a + b - 2 = 0, a \in N}$ ， $B = {(a, b) | k (a^{2} - a + 1) - b = 0, a \in N}$ ，若存在非零整数k，满足 $A \cap B \neq \emptyset$ ，则 $k =$ .

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四、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{a \cos C}{2 b - c}$ .
（Ⅰ）求 $\cos A$ 的值；

（Ⅱ）若 $a = 5$ ， $b + c = 10$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C}$ .

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19. 如图，五面体 $A B C D E F$ 中，平面 $E A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，而 $A B C D$ 是直角梯形， $△ E A D$ 等腰三角形，且 $A B$ // $C D$ ， $C D = E F$ ， $∠ A B C = ∠ A E D = 90 °$ ， $∠ A D C = 120 °$ ， $A B = 4$ ， $A E = 2 \sqrt{2}$ .

（Ⅰ）求证：四边形 $C D E F$ 为平行四边形；

（Ⅱ）求二面角 $D - B C - F$ 的平面角的余弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 4 - | a_{n} | (n \in N^{*})$ .
（Ⅰ）若 $a_{1} > 0$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 成等比数列，求 $a_{1}$ 和 $S_{4}$ ；

（Ⅱ）若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，求 $a_{1}$ 和 $S_{n}$ .

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21. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，其焦点到准线的距离等于1，设动点 $M (t ， - \frac{1}{2})$ ，过M作C的两条切线 $M A$ ， $M B$ （A，B为切点）.
（Ⅰ）求P的值；

（Ⅱ）求证：直线 $A B$ 恒过定点Q；

（Ⅲ）设圆 $E$ ： $x^{2} + {(y - \frac{5}{2})}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，若圆E与直线 $A B$ 相切，且切点正好是线段 $A B$ 的中点，求r的值.

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22. 已知函数 $f (x) = k x^{- 1} - k + \ln x$ ， $k \in R$ .
（Ⅰ）当 $k = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）若 $f (x) \geq 0$ 在 $x \in (0 ， + \infty)$ 上恒成立，求k的取值范围；

（Ⅲ）当 $k = 0$ 时，对意 $b > c > 0$ ，若 $a = \frac{b - c}{f (b) - f (c)}$ ，求证： $a < b$ .

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