浙江省嘉兴市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，集合 $A = {1, 3}$ ，集合 $B = {3, 4, 5}$ ，则集合 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${3}$ B、 ${2, 6}$ C、 ${1, 3, 4, 5}$ D、 ${1, 2, 4, 5, 6}$

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2. 已知复数 $(1 - i) (a + i)$ 为纯虚数（ $i$ 为虚数单位），则实数a的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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3. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \ln x + 1$ ，则 $f (- 1) =$ （）

A、-ln2 B、-1 C、0 D、1

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4. 已知物体位移S（单位：米）和时间t（单位：秒）满足： $S = t^{3} - 2 t + 1$ ，则该物体在 $t = 1$ 时刻的瞬时速度为（）

A、1米/秒 B、2米/秒 C、3米/秒 D、4米/秒

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5. 用数学归纳法证明： $1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + 2 n = n (2 n + 1)$ 时，从n=k推证 $n = k + 1$ 时，左边增加的代数式是（）

A、 $4 k + 3$ B、 $4 k + 2$ C、 $2 k + 2$ D、 $2 k + 1$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ， $\vec{A E} = \vec{E D}$ ，则下列向量与 $\vec{B E}$ 相等是（）

A、 $\frac{5}{6} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $- \frac{5}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$

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7. 已知 $a \in (0, 2)$ ，随机变量 $ξ$ 的分布列如下：

$ξ$

0

a

2

p

$\frac{2 - a}{3}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{a}{3}$

则 $D (ξ)$ 的最大值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 某高一学生将来准备报考医学专业.该同学已有两所心仪大学A，B，其中A大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，B大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门.若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有（）

A、21种 B、23种 C、25种 D、27种

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = a$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2$ ，当 $n \geq 3$ 时， $a_{n}$ 为定值，则实数a的不同的值有（）

A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

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10. 设a， $b \in R$ ，且 $b \neq 0$ ，函数 $f (x) = | x - a | - b x$ .若函数 $y = f (f (x))$ 有且仅有两个零点，则（）

A、 $a < 0$ ， $0 < b < 1$ B、 $a < 0$ ， $- 1 < b < 0$ C、 $a > 0$ ， $0 < b < 1$ D、 $a > 0$ ， $- 1 < b < 0$

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二、双空题

11. 已知复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ （其中i为虚数单位），则 $\bar{z} =$ ； $| z | =$ .

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12. 从1，2，3，4，5这五个数字中任取4个数组成无重复数字的四位数，则这样的四位数共有个；其中奇数有个.

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13. 设 ${(2 x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{2} =$ ； $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ .

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14. 袋子里有7个大小相同的小球，其中2个红球，5个白球，从中随机取出2个小球，则取出的都是红球的概率为；若 $ξ$ 表示取出的红球的个数，则 $E (ξ) =$ .

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三、填空题

15. 已知 $△ A B C$ 中， $C = \frac{π}{2}$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点，且 $∠ A M C = \frac{π}{3}$ ，则 $\sin ∠ M A B =$ .

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16. 已知向量 $| \vec{a} | = 1$ ，向量 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | + | \vec{a} + \vec{b} | = 4$ ，则 $| \vec{b} |$ 的最小值为.

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17. 若不等式 $x - 2 \leq x^{2} + a x + b \leq 4 \ln x$ 对任意的 $x \in [1 ， e]$ 恒成立，则实数b的最大值为.

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6}) + 4 \cos^{2} x$ （ $x \in R$ ）.

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间.

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B // C D$ ， $A B ⊥ B C$ ，且 $A B = 1$ ， $P A = A D = D C = 2$ ，E是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $A E //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{2} + 2$ ， $a_{3}$ ， $a_{5} - 4$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $\frac{b_{1}}{a_{1}} + \frac{b_{2}}{a_{2}} + \frac{b_{3}}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{b_{n}}{a_{n}} = 2^{n} - 1$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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21. 如图，已知抛物线C： $x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，设点 $A (2 t ， t^{2}) (t > 1)$ 为抛物线上一点，过点A作抛物线C的切线交其准线于点E.

(1)、求点E的坐标（用 $t$ 表示）；

(2)、直线 $A F$ 交抛物线C于点B（异于点A），直线 $E F$ 交抛物线C于 $M$ ，N两点（点N在E，F之间），连结 $A M$ ， $B N$ ，记 $△ F A M$ ， $△ F B N$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - 1$ ， $g (x) = - a x^{2} + (a + 2 - e) x - 1 (a \in R)$ .（ $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数.）

(1)、求 $f (x)$ 的值域；

(2)、设 $h (x) = x f (x) + g (x)$ ，若 $h (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 有零点，求实数a的取值范围.

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$ξ$	0	a	2
p	$\frac{2 - a}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{a}{3}$