浙江省环大罗山联盟2019-2020学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2020-08-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | x < 2}$ ，则 $A \cap B$ =（）

A、 $\emptyset$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， 2)$

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2. 设 $b < a ， d < c$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $a - c > b - d$ B、 $a c > b d$ C、 $a + c > b + d$ D、 $a + d > b + c$

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3. 设 $m \in R$ ，命题若 $m > 0$ ，则方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有实根的逆否命题是（）

A、若方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有实根，则 $m > 0$ B、若方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有实根，则 $m \leq 0$ C、若方程 $x^{2} + x - m = 0$ 没有实根，则 $m > 0$ D、若方程 $x^{2} + x - m = 0$ 没有实根，则 $m \leq 0$

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4. 某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm³）为（）

A、18 B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5. 函数 $f (x) = | x | \cdot \sin x$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图， $| \overset{⇀}{O A} | = 2 ， | \overset{⇀}{O B} | = \sqrt{2} ， | \overset{⇀}{O C} | = 4$ ， $\overset{⇀}{O A}$ 与 $\overset{⇀}{O B}$ 的夹角为 $135^{\circ}$ ，若 $\overset{⇀}{O C} = λ \overset{⇀}{O A} + 4 \overset{⇀}{O B}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{3} - 1}$ 是幂函数，对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，若 $a ， b \in R ， a + b < 0$ ，则 $f (a) + f (b)$ 的值（）

A、恒大于0 B、恒小于0 C、等于0 D、无法判断

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8. 已知在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} > 0 ， a_{2} + 2$ 是 $a_{1} + 1$ 与 $a_{3} + 3$ 的等比中项，则 $a_{1} = \frac{1}{3}$ 是数列 ${a_{n}}$ 唯一的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 过原点的一条直线与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于A，B两点， $F_{2}$ 为椭圆右焦点，且AB长度等于焦距长，若 $∠ A B F_{2} \in (\frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12})$ ，则该椭圆离心率的取值范围为（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{6}}{3})$ C、 $(\frac{\sqrt{6}}{3} ， 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$

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10. 若函数 $y = f (x)$ 的图象上存在两点A，B关于原点对称，则称点对 $[A ， B]$ 为 $y = f (x)$ 的基点对，点对 $[A ， B]$ 与 $[B ， A]$ 可看作同一个基点对若 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 4 ，_{} {_{}}_{}_{} x \leq 0 \\ \frac{a x^{2} + a x - 1}{x} \underset{}{} ， x > 0 \end{array}$ 恰好有两个基点对，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 4 ， 1)$ B、 $(- 6 + 2 \sqrt{6} ， 1)$ C、 $(- 6 - 2 \sqrt{6} ， - 6 + 2 \sqrt{6})$ D、 $(- 6 - 2 \sqrt{6} ， 1)$

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二、填空题

11. 一扇形的周长等于4 ，面积等于1 ，则该扇形的半径为，圆心角为．

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12. 已知双曲线方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，直线 $y = x + b (b > 0)$ 分别交双曲线左右两支于A，B两点，与 $y$ 轴交于点C，则 $\frac{| A C |}{| B C |}$ 的范围是．

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13. 在平面四边形 $A B C D$ 中，已知 $△ A B C$ 的面积是 $△ A C D$ 的面积的3倍．若存在正实数x，y使得 $\vec{A C} = (\frac{1}{x} - 2) \vec{A B} + (1 - \frac{2}{y}) \vec{A D}$ 成立，则 $x + y$ 的最小值为．

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14. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 4 x + 2 (x \geq 0)$ ，若 $f_{1} (x) = f (x)$ ， $f_{n + 1} (x) = f (f_{n} (x))$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $f_{2020} (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最大值为．

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三、双空题

15. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 3 ， A A_{1} = 4$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 与 $A_{1} D$ 所成的角的余弦值为，该长方体外接球的表面积为．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{5} = 18$ ， $a_{3} a_{4} = 32$ ，若 ${a_{n}}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{6} =$ ，若 ${a_{n}}$ 为单调递减的等比数列，其前 $n$ 项和为 $T_{n} = 63$ ，则 $n =$ ．

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17. 在平面直角坐标系中，不等式组 ${\begin{array}{l} y \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ 2 x + y - 4 \leq 0 \end{array}$ 表示的平面区域面积为， $z = x + y$ 的最大值为．

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \cos x (\sin x + \cos x) - \frac{1}{2}$ .

(1)、若 $0 < α < \frac{π}{2}$ ，且 $\sin α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $f (α)$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间.

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19. 如图，平行四边形ABCD所在平面与直角梯形ABEF所在平面互相垂直，且 $A B = B E = \frac{1}{2} A F = 1 ， B E // A F$ ， $A B ⊥ A F ， B C = 2 ， A C = \sqrt{3}$ ，P为DF中点．

(1)、求证：直线PE平行于平面ABCD；

(2)、求PE与平面BCE所成的线面角大小．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，数列 ${a_{n}^{2}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，且 $2 T_{n} = S_{n}^{2} + S_{n} ， n \in N^{*} .$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{1} = 1$ ， $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n + 1} - 1) (a_{n} - 1)} (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $B_{n}$ ．

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21. 如图，抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 4 x$ ，已知点 $M (- 1 ， 0)$ 、 $N (1 ， 0)$ ，直线l的方程为 $y = k (x - 1) (k > 0)$ ，直线l与抛物线C交于A、B两点．

(1)、若 $\frac{S_{△ A M N}}{S_{△ B M N}} = 3$ 时，求直线l的方程；

(2)、若 $\tan ∠ A M N = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，求 $△ A M B$ 的外接圆半径．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + a + 2$ ， $g (x) = | x | - a$

(1)、当 $a = 1$ ，求函数 $y = f (| x |)$ 的值域；

(2)、设函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，问：当 $a$ 取何值时，函数 $h (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上为单调函数；

(3)、设函数 $h (x)$ 的零点为 $x_{i} (i \in N^{*})$ ，试讨论当 $a \in [- 2 ， 8]$ 时， $x_{i}$ 是否存在，若存在请求出 $\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} |$ 的取值范围．（ $\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} | = | x_{1} | + | x_{2} | + | x_{3} | + ...... + | x_{n} | ， n \in N^{*}$ ）

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