浙江省杭州市2019-2020学年高二下学期数学期末教学质量检测试卷

试卷更新日期：2020-08-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0, 1, 2, 3, 5}$ ， $B = {1, 3, 5}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 3}$ B、 ${3, 5}$ C、 ${3, 1, 5}$ D、 ${0, 1, 2, 3, 5}$

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2. 已知 $f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ ，则 $f (1) =$ （）

A、15 B、21 C、3 D、0

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3. $\log_{5} 25 + 16^{\frac{1}{2}} =$ （）

A、 $\frac{9}{4}$ B、6 C、 $\frac{21}{4}$ D、9

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4. 若 $α$ 是钝角， $\cos α = - \frac{2}{3}$ ，则 $\sin (π - α) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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5. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $2 \sqrt{2}$

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6. 若圆 x²+y²+mx- $\frac{1}{4}$ =0与直线 $y = - 1$ 相切，则 $m =$ （）

A、 $\pm 2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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7. 在△ $A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E为 $A D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$

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8. 已知不等式组 ${\begin{array}{l} y \leq x \\ y \geq - x \\ x \leq a \end{array}$ 表示的平面区域S的面积为9，若点 $P （ x ， y ） \in S$ ，则z=2x+y的最大值为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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9. 设m，n是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m // n$ ， $n // β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m // n$

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10. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则“ $a_{1} > 0$ ”是“ $S_{2021} > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11. 下列不可能是函数 $f (x) = x^{α} \ln | x | (α \in Z)$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | + | \vec{a} - \vec{b} | = 4$ ，则 $| \vec{b} |$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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13. 以双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左顶点A为圆心作半径为a的圆，此圆与渐近线交于坐标原点O及另一点B，且存在直线 $y = k x$ 使得B点和右焦点F关于此直线对称，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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14. 设 $x, y \in R$ （）

A、若 $2^{x} - 4^{y} = {(\frac{1}{3})}^{x} - 2 {(\frac{1}{9})}^{y}$ ，则 $x - 2 y > 0$ B、若 $2^{x} - 4^{y} = {(\frac{1}{3})}^{x} - 2 {(\frac{1}{9})}^{y}$ ，则 $x - 2 y < 0$ C、若 $2^{x} - {(\frac{1}{4})}^{y} = {(\frac{1}{3})}^{x} - 2 \times 9^{y}$ ，则 $x - 2 y < 0$ D、若 $2^{x} - {(\frac{1}{4})}^{y} = {(\frac{1}{3})}^{x} - 2 \times 9^{y}$ ，则 $x - 2 y > 0$

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15. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E是棱BC上的动点，F是棱 $B_{1} C_{1}$ 上靠近 $C_{1}$ 点的三分点，M是棱 $C C_{1}$ 上的动点，则二面角 $A - F M - E$ 的正切值不可能是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{15}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{5}$

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二、填空题

16. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x < 0 ， \\ 2^{x} - 2 ， x \geq 0 \end{array}$ ，则函数 $f (x)$ 的零点个数为．

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17. 在锐角△ABC中，AB=3，AC=4，若△ABC的面积为3 $\sqrt{3}$ ，则BC的长是．

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18. 若正数a，b满足 $a b = 2 a + 2 b + 5$ ，则ab的最小值是．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ ，满足 $b_{n} = 1 - \frac{2}{a_{n}}$ ，设 ${b_{n}}$ 的前n项积为 $\frac{2}{a_{n}}$ ，则 ${\frac{4}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项的和 $S_{n} =$ ．

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三、解答题

20. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos (2 x + \frac{π}{3}) - \cos (2 x - \frac{π}{3})$ ．
（Ⅰ）求 $f (\frac{π}{2})$ 的值．

（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, \frac{5π}{12}]$ 上的最大值和最小值．

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21. 如图，已知三棱锥 $P - A B C$ ， $P C ⊥ A B$ ， $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $P B = 4$ ， $∠ P B C = 60 °$ ，点F为线段AP的中点．

（Ⅰ）证明： $P C ⊥$ 平面ABC；

（Ⅱ）求直线BF与平面PBC所成角的正弦值．

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22. 等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为0， $a_{1} = 3$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{5}$ 成等比数列．
（Ⅰ）求 $a_{n}$ ；

（Ⅱ）设 $b_{n} = {(- 1)}^{n + 1} a_{n} \cdot a_{n + 1}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，求 $T_{2 n}$ ．

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23. 如图所示，圆 $C_{1} ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，抛物线 $C_{2} ： x^{2} = y$ ，过点 $P (0 ， t)$ 的直线l与抛物线 $C_{2}$ 交于点M，N两点，直线OM，ON与圆 $C_{1}$ 分别交于点E，D．

(1)、若 $t = 1$ ，证明： $O M ⊥ O N$ ；

(2)、若 $t > 0$ ，记 $△ O M N$ ， $△ O E D$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值（用t表示）．

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24. 已知函数 $f (x) = (x - a) | x - b | + c$ ， $x \in R$ ．
（Ⅰ）当 $a = 1$ ， $b = 0$ 时，函数 $y = f (x)$ 有且只有两个零点，求c的取值范围．

（Ⅱ）若 $a = 0$ ， $c < 0$ ，且对任意 $x \in [0 ， 1]$ ，不等式 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $b + 2 c$ 的最大值．

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