浙江省温州市十五校联合体2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x - y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3}{4} π$

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2. 已知圆的方程为 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ ，则圆的半径为（）

A、3 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、4

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3. 在 $△ A B C$ 中， $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 5 : 6$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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4. 若实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x - 1 \leq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \end{array}$ ，则 $x + 2 y$ 的最大值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 被直线 $y = x + \sqrt{2}$ 截得的劣弧所对的圆心角的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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6. 关于x的不等式 $| x - 1 | + | x - a | \geq 3$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 4] \cup [2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2] \cup [4, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 3] \cup [3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [4, + \infty)$

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7. 等差数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} > a_{2} > 0$ ， $S_{5} = S_{9}$ ，则当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 若实数a，b满足 $a b > 0$ ，则 $a^{2} + b^{2} + \frac{1}{2 a b} + 1$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ ，满足 $2 a_{4} + 5 a_{10} = \sqrt{10}$ ，则 $a_{7}$ 的值可能是（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + 1, n 为奇数, \\ 2 a_{n}, n 为偶数, \end{array} (n \in N^{*})$ ，若 $23 \leq a_{10} \leq 33$ ，则 $a_{3}$ 的取值范围是（）

A、 $1 \leq a_{3} \leq 2$ B、 $1 \leq a_{3} \leq \frac{9}{4}$ C、 $2 \leq a_{3} \leq 3$ D、 $\frac{2}{3} \leq a_{3} \leq 3$

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二、双空题

11. 已知直线 $l_{1}$ 的方程为 $3 x + 4 y - 2 = 0$ ，直线 $l_{2}$ 的方程为 $6 x + 8 y + 1 = 0$ ，则直线 $l_{1}$ 的斜率为，直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为.

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12. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 7$ ，且 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n \in N^{*})$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 中的最小项为，最大项为（要求写出具体的值）.

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13. 已知 $k \in R$ ，则直线 $l : k x + y + 1 = 0$ 过定点；若直线 $l : k x + y + 1 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 恒有公共点，则半径r的取值范围是.

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14. 已知两圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x + 10 y + 10 = 0$ 和 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y + 1 = 0$ 交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线方程是，公共弦AB长度为.

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三、填空题

15. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $n a_{n} = n^{2} + λ$ ，若数列 ${a_{n}}$ 是单调递增数列，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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16. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 $3 a \cdot \cos C = 2 c \cdot \cos A + b$ ，则 $\tan (A - C)$ 的最大值为.

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17. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 3 y - x y = 0$ ，若不等式 $3 x + y > t^{2} - 6 t$ 恒成立，则实数t的取值范围.

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四、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $b^{2} - a c = a^{2} + c^{2}$ .

(1)、若 $a = 1$ ， $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $b = 3$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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19. 在公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 11$ ，且 $a_{2}$ 、 $a_{5}$ 、 $a_{6}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${| a_{2 n - 1} |}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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20. 已知 $m \in R$ ，函数 $f (x) = x^{2} + m x + 1$ .

(1)、当 $m = 2$ ，解不等式 $f (x) < 4 x + 4$ ；

(2)、若对任意的 $x \in [1, 3]$ ，不等式 $f (x) \geq x^{2} + 10 + | x^{2} - 4 |$ 恒成立，求m的取值范围.

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21. 在平面直角坐标系xOy中， $⊙ E : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ .

(1)、过点 $P (3, 4)$ 作 $⊙ E$ 的切线，求切线的方程；

(2)、过点 $Q (2, 2)$ 作两条互相垂直的直线分别与 $⊙ E$ 交于A、C、B、D四点，求四边形ABCD面积的最大值.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \log_{3} (a_{n} + 1)$ ，求数列 ${\frac{2}{b_{n} b_{n + 2}}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(3)、若数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3^{n}}) \leq T_{n} < \frac{5}{6} (n \in N^{*})$ .

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