浙江省台州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 不等式 $x^{2} - 1 < 0$ 的解集是（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, 4)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则实数m的值为（）

A、-8 B、-2 C、2 D、8

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前m项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = \frac{1}{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a = 1$ ， $A = \frac{π}{6}$ ， $\sin B = \frac{1}{4}$ ，则 $b =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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5. 若 $a, b \in R$ ，且 $a \neq b$ ，则下列不等式中恒成立的是（）

A、 $a + b < a + 2 b$ B、 $a^{2} + b > b$ C、 $\frac{a}{b^{2} + 1} > \frac{a}{b^{2} + 2}$ D、 $(a - b) (2^{a} - 2^{b}) > 0$

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6. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E是边 $C D$ 的中点，点F是 $A E$ 的中点，则 $\vec{B F} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $- \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A D}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A D}$

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7. 若对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，不等式 $x^{2} - a x + 2 > 0$ 恒成立，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2 \sqrt{2})$ B、 $(- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ C、 $(2 \sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, + \infty)$

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8. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{1} = a$ ， $S_{3} = b$ ， $S_{5} = c$ ，则（）

A、 $a + c = 2 b$ B、 $a \cdot c = b^{2}$ C、 $15 a + 3 c = 10 b$ D、 $3 a + 15 c = 10 b$

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9. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，若点M为边 $B C$ 所在直线上的一个动点，则 $| 4 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 2 \vec{M C} |$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{6}$ B、 $6 \sqrt{6}$ C、 $\frac{3 \sqrt{249}}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} > 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列结论中不一定正确的是（）

A、 $a_{n + 1} > 3 a_{n} - 4$ ， $n \in N^{*}$ B、 $a_{3} > 2 (a_{2} - 1) (a_{1} - 1)$ C、 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}} < \frac{1}{a_{3} - 1} + \frac{3}{4}$ D、 ${(a_{2} - 1)}^{2} + {(a_{3} - 1)}^{2} + {(a_{4} - 1)}^{2} < a_{5} + \frac{5}{4}$

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二、双空题

11. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 3)$ ，则 $| \vec{a} | =$ ， $\vec{a} + \vec{b} =$ .

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12. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \leq 1 \\ y \leq 1 \\ x + y \geq 1 \end{array}$ ，则 $x - y$ 的最小值为；此约束条件所表示的平面区域的面积为.

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13. 已知等比数列 ${a_{n}} (a_{n} \in R)$ 的公比为q，前n项和为 $S_{n}$ .若 $a_{3} = 4$ ， $a_{6} = 32$ ， $S_{n} = 63$ ，则 $q =$ ， $n =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = | x | + | x - a | (a \in R)$ .若 $f (x)$ 的最小值为3，则 $a =$ ；若关于x的不等式 $f (x) \leq b (b > 0)$ 的解集为 $[- 1, 3]$ ，则 $a =$ .

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三、填空题

15. 已知x，y是正数， $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1$ ，则 $\frac{2 x + y}{x y + 1}$ 的最小值为.

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D是边 $B C$ 上的一点， $D C = 1$ ， $A C = 2$ ， $B D = 3$ ， $∠ B A D = 120 °$ ，则 $A B$ 的长为.

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17. 在平面内，已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是非零向量， $\vec{e}$ 是单位向量， $| \vec{a} - \vec{e} | = 1$ ， $\vec{b} \cdot (\vec{b} - \vec{e}) = 0$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的取值范围是.

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四、解答题

18. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ .
（Ⅰ）求向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

（Ⅱ）若向量 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值.

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为其前n项和， $a_{2} + a_{4} = 10$ ， $S_{7} = 49$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ， $n \in N^{*}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和.

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20. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $5 b \cos A + 4 a = 5 c$ .

(1)、求 $\cos B$ ；

(2)、记边 $A C$ 上的高为h，求 $\frac{h}{b}$ 的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + | x + a |$ ， $a \in R$ .
（Ⅰ）当 $a = - 1$ 时，解不等式 $f (x) \geq 1$ ；

（Ⅱ）若对任意的实数 $a$ ，总存在 $x_{0} \in [- 1, 2]$ ，使得 $f (x_{0}) \geq m$ ，求实数m的取值范围.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ ， $b_{n} = a_{n} + 2$ ， $2 a_{n} = b_{n + 1} - b_{n}$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 及数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = \frac{2 n (a_{n + 1} + 1)}{b_{n + 1} - 3}$ ， $n \in N^{*}$ ，求证： $4 \leq c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} < n^{2} + n + \frac{31}{8}$ ， $n \in N^{*}$ .

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