浙江省绍兴市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $d = 3$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、5 B、6 C、8 D、11

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2. 平面向量 $\vec{a} =$ $(1, 2)$ ， $\vec{b} =$ $(3, 4)$ ，则 $\vec{a} + 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(5, 8)$ B、 $(5, 10)$ C、 $(7, 8)$ D、 $(7, 10)$

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3. $\sin 15^{°} \cos 15^{°}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 已知 $a$ ， $b$ $\in$ R，若 $a + | b | < 0$ ，则（）

A、 $a^{2} - b^{2} < 0$ B、 $a - b > 0$ C、 $a + b < 0$ D、 $a + b > 0$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $a = 3$ ， $b = 2 \sqrt{6}$ ， $∠ B = 2 ∠ A$ ，则 $\sin A$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $1$

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6. 用数学归纳法证明“ $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 n} \geq \frac{1}{2} (n \in$ $N^{*})$ ”，由 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 时，不等式左边应添加的项是（）

A、 $\frac{1}{2 k + 1}$ B、 $\frac{1}{2 k + 2}$ C、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2}$ D、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2} - \frac{1}{k + 1}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = 5$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = 2$ ，则 $B C =$ （）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $3 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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8. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = | \vec{B D} | = 5$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = 0$ ，则该四边形 $A B C D$ 的面积是（）

A、 $\frac{35}{2}$ B、 $\frac{15 \sqrt{5}}{2}$ C、 $15 \sqrt{5}$ D、 $25$

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9. 已知递增的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} \cdot a_{7} = 5$ ， $a_{2} + a_{6} = 6$ ，对于 $n \in N^{*}$ ，不等式 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{S_{n}} < M$ 恒成立，则整数M的最小值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x^{2} + b |$ ， $x \in [0, 1]$ ，设 $f (x)$ 的最大值为M，若M的最小值为1时，则a的值可以是（）

A、 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ B、0 C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、1

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二、填空题

11. 若 $sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $cos 2 α =$ ．

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $C = \frac{π}{6}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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13. 已知实数x、y满足 ${\begin{array}{l} x - y \leq 2 \\ x + y \leq 4 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $2 x - y$ 的最大值为.

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， $a_{m} = n$ ， $a_{n} = m$ ，则 $a_{m + n} =$ .

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15. 已知实数x，y满足 $x^{2} + y^{2} + x y = 2$ ，则 $2 x + y$ 的最大值为.

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16. 已知平面向量 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $| \vec{c} | = 4$ ， $| \vec{d} | = 4$ ， $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c} + \overset{⇀}{d} = \vec{0}$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) =$ .

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三、解答题

17. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (- 3 ， 2)$ ．

(1)、求 $\vec{a} - \vec{b}$ ；

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求实数 $k$ 的值.

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18. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ .

(1)、若 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\sin (α + \frac{π}{6})$ 的值；

(2)、若 $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\sin α$ 的值.

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， b \sin A = a \cos (B - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、设点D是 $A C$ 的中点，若 $B D = \sqrt{3}$ ，求 $a + c$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = x | x - 2 a | + a^{2} - 4 a (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，解不等式 $f (x) > 5$ ；

(2)、当 $a > 0$ 时，若方程 $f (x) = 0$ 有3个不相等的实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ 的取值范围.

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21. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 1$ ，且 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 42$ ， $a_{3} + 9$ 是 $a_{1}$ ， $a_{5}$ 的等差中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{3^{n} + a_{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项的和为 $S_{n}$ ，求证： $\frac{17}{13} - {(\frac{2}{3})}^{n} \cdot \frac{18}{13} < S_{n} < \frac{21}{13}$ .

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