浙江省宁波市九校2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | x^{2} + x - 6 < 0}$ ， $N = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[1, 2)$ B、 $[1, 2]$ C、 $(2, 3]$ D、 $[2, 3]$

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2. 直线 $6 x + 8 y - 2 = 0$ 与 $6 x + 8 y - 3 = 0$ 间的距离为（）

A、1 B、3 C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{2}{5}$

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3. 如果实数 $a, b$ 满足： $a < b < 0$ ，则下列不等式中不成立的是（）

A、 $| a | + b > 0$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 $a^{3} - b^{3} < 0$ D、 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$

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4. 圆C是心直线 $l : (2 m + 1) x + (m + 1) y + 2 m = 0$ 的定点为圆心，半径 $r = 4$ ，则圆C的方程为（）

A、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ C、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16$ D、 ${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16$

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5. 已知 $\sin 2 θ = - \frac{3}{4}$ ，则 $\tan θ + \frac{1}{\tan θ} =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $- \frac{8}{3}$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，若 $a_{2} + a_{6} + a_{10} = 2 π$ ， $b_{2} b_{5} b_{8} = 8$ ，则 $\sin \frac{a_{4} + a_{8}}{b_{3} b_{7}}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，若 $\sin (B + C) \sin (B - C) = \sin^{2} A$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等腰三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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8. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x - y = 0$ 的公共弦过点 $(a, b)$ ，则 $4 a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $2$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sin \frac{π x}{2} ， 0 \leq x \leq 2 \\ - \sqrt{- x^{2} + 6 x - 8} ， 2 < x \leq 4 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - k x - 1$ 恰有三个零点，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{3}{4} ， - \frac{1}{4}]$ B、 $(- \frac{3}{4} ， - \frac{1}{4}]$ C、 $(- \frac{4}{3} ， - \frac{1}{4})$ D、 $(- \frac{4}{3} ， - \frac{1}{4}]$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2 x}{x^{2} + 3} ， x \leq 0 \\ x^{3} ， x > 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $| f (x) - a | + | f (x) - a - 1 | = 1$ 有且仅有三个不同的整数解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{2} ， - \frac{27}{19})$ B、 $[0 ， 8]$ C、 $[- \frac{4}{7} ， - \frac{18}{19})$ D、 $(- \frac{1}{2} ， 0]$

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二、填空题

11. 已知直线 $l_{1} : a x - y + a + 1 = 0$ ，直线 $l_{2} : 3 x + (a - 4) y + 3 = 0$ ，若 $l_{1} // l_{2}$ ，则实数 $a$ 的值为.

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12. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 1 \geq 0 \\ x - y + 2 \leq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为

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13. 过点 $P (0, 2)$ 的直线 $l$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} = 32$ 相交于M、N两点，且圆上一点Q到直线 $l$ 的距离的最大值为 $5 \sqrt{2}$ ，则直线l的方程是．

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14. 已知正实数x，y满足x+y=1，则 $\frac{1}{x + 1} + \frac{4}{y + 2}$ 的最小值为．

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15. 已知 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c， $A B$ 边上的高为 $C D$ ，且 $2 C D = A B$ ，则 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的取值范围是.

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三、双空题

16. 设 $α$ 、 $β \in (0, π)$ ， $\cos β = - \frac{12}{13}$ ， $\cos \frac{α}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\cos α =$ ， $\tan (α + β) =$ ．

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ，则数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} =$ ，若 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{n} =$ ．

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四、解答题

18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为 0 ， $S_{3} = 15$ ， $a_{1}, a_{4}, a_{13}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = a_{n} + 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \sqrt{3} \cos^{2} \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足 $c^{2} - b^{2} \geq \sqrt{3} a c - a^{2}$ 求 $f (B)$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x} - 6$ .

(1)、若区间 $[1, 6]$ 上存在一个 $x_{0}$ ，使得 $| f (x_{0}) | \geq a$ 成立，求实数a的取值范围；

(2)、若不等式 $f (e^{x}) \geq m e^{x}$ 在 $x \in (- \infty, 0]$ 上恒成立，求实数m的取值范围.

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (2 ， 4)$ ，圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 与x轴的正半轴的交点是Q，过点 $P$ 的直线l 与圆O交于不同的两点 $A ， B$ .

(1)、求 $A B$ 的中点M的轨迹方程；

(2)、设点 $N (\frac{4}{3} ， 0)$ ，若 $| M N | = \frac{\sqrt{13}}{3} | O M |$ ，求 $△ Q A B$ 的面积.

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22. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $2 a_{n} a_{n + 1} + 3 a_{n + 1} = 8 a_{n} - 2$ .

(1)、试比较 $a_{n}$ 与2的大小，并说明理由；

(2)、设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明：当 $n \in N^{*}$ 时， $S_{n} > 2 n - 5$ .

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