浙江省金华十校2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，集合 $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {2, 3, 4}$ ，则 $∁_{U} (A \cap B) =$ （）

A、 ${1, 4, 5}$ B、 ${2, 3}$ C、{5} D、{1}

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2. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（–2，m），若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则m=（）

A、–1 B、–4 C、4 D、1

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3. 在 $△ A B C$ 中，下列关系正确的是（）

A、 $\sin (A + B) + sinC = 0$ B、 $\cos (A + B) + \cos C = 0$ C、 $\tan (A + B) - \tan C = 0$ D、 $\sin (\frac{A + B}{2}) - \sin \frac{C}{2} = 0$

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4. 已知：点 $A (1, 0)$ ， $B (3, 4)$ ，则线段 $A B$ 的中垂线方程是（）

A、 $x + 2 y - 6 = 0$ B、 $x - 2 y + 2 = 0$ C、 $2 x + y - 6 = 0$ D、 $2 x - y - 2 = 0$

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5. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为R的奇函数，则下列函数中一定是奇函数的是（）

A、 $y = x \cdot f (x)$ B、 $y = 2^{x} \cdot f (x)$ C、 $y = \sin x \cdot f (x)$ D、 $y = \cos x \cdot f (x)$

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6. 若实数x、y满足不等式 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \leq 0 \\ 2 x - y + 1 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、-3 D、-1

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7. 已知x， $y > 0$ ，则 $x + y + \frac{4}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、6 C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $3 \sqrt{6}$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = 2 \cdot 3^{n} + 9$ ，则（）

A、 ${a_{n}}$ 是等比数列 B、 ${a_{n}}$ 是递增数列 C、 $a_{1}$ 、 $a_{6}$ 、 $a_{1}_{1}$ 成等比 D、 $S_{10} - S_{5}$ 、 $S_{15} - S_{10}$ 、 $S_{20} - S_{15}$ 成等比

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9. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， $△ A B C$ 的面积为S，若 $S = \frac{a^{2}}{2}$ ，则（）

A、 $b c = a$ B、 $\tan A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 a^{2}}$ C、 $\frac{c}{b} + \frac{b}{c}$ 的最大值为 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{b c}{a^{2}}$ 的最大值为1

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} + {(- 1)}^{n} a_{n} = 3 n - 1$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则（）

A、 $S_{2020}$ 是定值， $a_{1} + a_{2020}$ 是定值 B、 $S_{2020}$ 不是定值， $a_{1} + a_{2020}$ 是定值 C、 $S_{2020}$ 是定值， $a_{1} + a_{2020}$ 不是定值 D、 $S_{2020}$ 不是定值， $a_{1} + a_{2020}$ 不是定值

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二、双空题

11. 1和4的等差中项是；4和的等比中项是±1.

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12. 已知直线 $l : x + (m + 1) y = 2 - m$ ，则当 $m = 0$ 时，直线l的倾斜角为；当m变化时，直线l过定点.

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13. 若 $P (- 1, 2)$ 是角 $α$ 终边上一点，则 $\tan α =$ ； $\tan (α + \frac{π}{4}) =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D是 $B C$ 的中点，点O是 $A D$ 的中点，若 $\vec{B O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ ；若 $\vec{B O} ⊥ \vec{A C}$ ，则 $\cos A =$ .

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三、填空题

15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{3} + 1, & x \geq 0 \\ 3^{2 x} - 3^{x} + 1, & x < 0 \end{matrix}$ ，则 $f (x)$ 的最小值是.

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16. 已知： $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ， $\vec{c} = λ (\vec{a} - \vec{b}) (λ \in R)$ ， $| \vec{d} - \vec{a} | = \frac{1}{2}$ ，则 $| \vec{d} - \vec{c} |$ 最小值为.

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17. 已知实数x，y，z满足： ${\begin{array}{l} x + y + z = 3 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 36 \end{array}$ ，则 $| x | + | y | + | z |$ 的最大值为.

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四、解答题

18. 已知：圆 $C$ 过点 $D (0, 1)$ ， $E (- 2, 1)$ ， $F (- 1, \sqrt{2})$ ，P是直线 $l_{1} : y = x - 2$ 上的任意一点，直线 $l_{2} : y = x + 1$ 与圆C交于A、B两点.

(1)、求圆C的方程；

(2)、求 ${| P A |}^{2} + {| P B |}^{2}$ 的最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6}) - \cos 2 x + 1$ ， $x \in R$ .

(1)、若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、已知 $α$ 为锐角且 $f (α) = \frac{4}{3}$ ，求 $\sin (2 α + \frac{π}{6})$ 的值.

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20. 在锐角 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，D为边 $B C$ 上一点，且 $B D = 2 D C$ .

(1)、已知 $\sin ∠ B A C = \frac{3}{2} \sin ∠ A C B$ ， $A D = 2$ ，求 $△ A D C$ 的面积；

(2)、已知： $A B = 9$ ， $A C = 3 \sqrt{7}$ ，求 $A D$ .

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a | x - a | - 2 a x + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、求当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有2个零点，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知：公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{6} = 30$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的前三项分别是 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ .

(1)、求数列 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 的前n项和；

(2)、设 $C_{n} = \frac{S_{n} + 1}{b_{n}}$ ，是否存在正整数k和实数x，使得 $C_{k}$ ， $C_{k + 1}$ ， $C_{k + 2}$ ，x按适当顺序排列后可以构成等差数列，若存在，求出所有满足条件的x的值，若不存在，请说明理由.

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