浙江省环大罗山联盟2019-2020学年高一下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2020-08-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\sin \frac{5}{3} π$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 直线 $x - y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3}{4} π$

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3. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 1 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值等于（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角为 $60 °$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) =$ （）

A、 $1 + \sqrt{3}$ B、2 C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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5. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 33$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、66 B、77 C、88 D、99

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6. 已知 $\sin (π - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{\sin (2 α + π)}{\sin (α + \frac{π}{2})} =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ A = 30^{\circ}$ ， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定

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8. 实数x、y，x>-1，且满足xy+y=-x+3，则x+y的最小值是（）

A、 1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

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9. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω \in Z)$ ， $x \in (0 ， \frac{π}{3}]$ 时， $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 有唯一解，则满足条件的 $ω$ 的个数是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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10. 数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $b_{n} = a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2}$ ， $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 前n项的和，若 $a_{14} = \frac{2}{7} a_{5}$ ， $a_{5} > 0$ ，则对于 $S_{15}$ ， $S_{16}$ ， $S_{17}$ ， $S_{18}$ ，下式成立的是（）

A、 $S_{15} < S_{16}$ B、 $S_{16} > S_{18}$ C、 $S_{15} < S_{17}$ D、 $S_{18} > S_{17}$

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二、填空题

11. $\cos^{2} \frac{π}{12} - \sin^{2} \frac{π}{12}$ = ．

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12. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，满足 $x + 2 y + \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 6$ ，存在实数m，对于任意x，y，使得 $m \leq x + 2 y$ 恒成立，则m的最大值为.

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13. 已知动点P在直线 $l ： 3 x + 4 y - 10 = 0$ 上，过点P作互相垂直的直线PA、PB，分别交x轴、y轴于点A、B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，则 $\vec{O M} \cdot \vec{O P}$ 的取值范围为.

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三、双空题

14. 若直线 $l_{1} : x + 2 y = 0$ 与直线 $l_{2} : 2 x + m y + 1 = 0$ 垂直，则 $m =$ ；若将直线 $l_{2}$ 沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移 $2 \sqrt{3}$ 个单位后回到原来的位置，则直线 $l_{2}$ 的倾斜角 $α =$ .（用弧度表示）

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15. 在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 $A = \frac{π}{6}$ ， $b = \sqrt{6}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则边 $c =$ ，角 $B =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的图象关于原点对称，且其周期为2，则 $ω =$ ， $φ =$ .

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17. 单位向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 夹角为 $120 °$ ， $\vec{c} = λ (\vec{a} + \vec{b})$ ，若 $λ = 1$ 时， $| \vec{c} | =$ .若 $λ \in R$ ，则 $| \vec{c} + \vec{a} | + | \vec{c} - \vec{b} |$ 的最小值为.

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四、解答题

18. 已知向量 $\vec{a} = (\cos 2 x, \sin 2 x)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, 3)$ ， $x \in [0, \frac{π}{2}]$ .

(1)、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，求x的值；

(2)、记 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求 $f (x)$ 的最大值和相应的x值以及单调递减区间.

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19. $△ A B C$ 中，点 $A (2, 1)$ 、 $B (1, 3)$ 、 $C (5, 5)$ .

(1)、若D为 $B C$ 中点，求直线 $A D$ 所在直线方程；

(2)、若 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $S_{△ A B D} = 2 S_{△ A C D}$ ，求 $| \vec{A D} |$ .

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20. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足 $a \sin^{2} \frac{B}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6} b \sin A$ .

(1)、求角B大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $b = 4$ ，求 $△ A B C$ 周长 $l$ 的取值范围.

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21. 设正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足： $a_{n}^{2} + a_{n} - 2 S_{n} = 0, n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若正项等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = a_{2}$ ， $b_{3} = a_{8}$ ，且 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若对任意 $n \in N^{*}$ ，均有 $(T_{n} - 2) \cdot m \geq 4 n^{2} - 18 n + 14$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ ，满足 $a_{3} = 4$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + {(- 1)}^{n + 1} a_{n} + {(- 1)}^{n} n ， n \in N^{*}$ .

(1)、求 $a_{1}$ 的值；

(2)、求证：数列 ${a_{2 n - 1} + \frac{1}{2}}$ 是等比数列；

(3)、求数列 ${a_{n}}$ 的前n项和.

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